Suponha que
e
tenham dimensão finita. Mostre que:
Passo 1
O enunciado que você enviou é curto: “Suponha que
e
tenham dimensão finita. Mostre que:”. Infelizmente ele está incompleto — falta dizer exatamente o que devo mostrar. Isso acontece bastante nas provas: normalmente, depois dessa hipótese, o que se pede é uma propriedade clássica envolvendo uma aplicação linear
, como o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) e suas consequências: injetividade vs. sobrejetividade em função das dimensões, etc. Vou então assumir o enunciado padrão e mostrar, passo a passo e de forma didática, as afirmações clássicas abaixo, que costumam ser justamente o que se pede em exercícios desse tipo:
- Para toda aplicação linear
vale (teorema da dimensão / posto-nulidade). - Como consequência: se
é injetora então ; se é sobrejetora então . - Se
então é injetora se, e somente se, é sobrejetora (equivalência e então isomorfismo).
Se você queria mostrar outra coisa, me desculpa — mas essas são as propriedades mais prováveis e úteis. Vou provar tudo isso detalhadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar (e aprender) os conceitos que vamos usar. Vou explicar como se estivéssemos juntos resolvendo na prova.
Definições e ideias básicas:
- Um conjunto de vetores
é uma base de se os vetores de são linearmente independentes e geram . A dimensão de , escrita , é o número de vetores em qualquer base de (isso faz sentido porque todas as bases têm o mesmo número de vetores). - Para uma aplicação linear
: - O núcleo (ou kernel) é
. É um subespaço de . - A imagem (ou alcance) é
. É um subespaço de .
- O núcleo (ou kernel) é
- Ideia chave que vamos usar na prova: podemos tomar uma base do subespaço
e estendê‑la a uma base de . Depois veremos o que acontece quando aplicamos aos vetores dessa base estendida.
Passo 3
Vamos provar o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity): para toda aplicação linear
entre espaços vetoriais de dimensão finita vale
Prova passo a passo:
- Tome uma base
de . Como é subespaço de e tem dimensão finita, existe tal base. Suponha que tenha vetores, ou seja . - Como
é um conjunto de vetores linearmente independentes em , podemos estendê‑lo a uma base de . Isso é um resultado padrão: qualquer conjunto de vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão finita pode ser completado até uma base. Então tem, digamos, vetores, onde . - Escrevamos
como concatenção
onde
é a base de
e
(porque
tem
vetores no total).
4. Aplicamos aos vetores de
. Note que
para todo
, porque os
estão no núcleo. Então os vetores não triviais na imagem vêm dos
: considere o conjunto
4. Aplicamos
- Vamos mostrar que
é base de . - Primeiro,
gera . De fato, qualquer vetor da imagem tem a forma com . Escrevendo na base obtemos
Aplicando e usando linearidade, pois . Assim qualquer é combinação linear dos , logo gera . - Segundo,
é linearmente independente. Suponha que haja escalares com
Pela linearidade, isto é , ou seja . Mas os vetores formam uma base de , portanto são linearmente independentes. Em particular, a soma só pode ser o vetor zero se todos os forem zero. Assim é linearmente independente. - Primeiro,
- Concluímos que
é uma base de . Logo
Rearranjando, obtemos o enunciado do teorema:
Isso prova o Rank–Nullity.
Passo 4
Agora extraímos consequências úteis — exatamente as que caem em provas e que ajudam a tomar decisões rápidas.
Consequência 1: Se
é injetora então
.
Prova (didática): Se
é injetora então
. Assim
. Pelo teorema da dimensão,
Mas
é subespaço de
, então
. Portanto
. Intuição: uma injeção de um espaço maior para um menor é impossível porque uma base do domínio teria mais vetores que uma base do contradomínio — sobraria “espaço” para colidir.
Passo 5
Consequência 2: Se
é sobrejetora então
.
Prova (didática): Se
é sobrejetora então
. Pelo teorema da dimensão,
Como
, deduzimos
. Intuição: para cobrir todo
com imagens de
precisa haver pelo menos tantos graus de liberdade em
quantos em
.
Passo 6
Consequência 3 (caso crítico): Se
então para uma aplicação linear
as propriedades “injetora” e “sobrejetora” são equivalentes; em particular, se
é injetora ou sobrejetora então
é um isomorfismo (tem inversa linear).
Prova (didática):
- Se
é injetora então, pela Consequência 1, . Mas aqui , então . Como é subespaço de com mesma dimensão de , temos . Logo é sobrejetora. Portanto injetora implica sobrejetora. - A demonstração inversa é análoga: se
é sobrejetora, pela Consequência 2 temos . Com iguais dimensões, e então é injetora. - Logo, se
e é injetora (ou sobrejetora), então é bijetora e linear, portanto é um isomorfismo linear (possui inversa linear).
Passo 7
Dicas práticas para a prova (modo amigão que te acalma):
- Sempre que o enunciado disser "mostre que existe uma aplicação linear injetora/ sobrejetora entre
e " verifique primeiro as dimensões. Se não existe aplicação linear sobrejetora de para . Se não existe aplicação linear injetora de para . - Para mostrar injetividade mostre que
. Para mostrar sobrejetividade mostre que a imagem gera (ou compare dimensões). - Memorize o Rank–Nullity; ele resolve muitos exercícios em um minuto:
.
Resposta
Para toda aplicação linear
entre espaços vetoriais de dimensão finita vale:
.\n
Se é injetora então
.\n
Se é sobrejetora então
.\n
Se então
é injetora se, e somente se, é sobrejetora (portanto é um isomorfismo).
Se
Se
Se