Suponha que V e W tenham dimensão finita. Mostre que:

Passo 1

O enunciado que você enviou é curto: “Suponha que V e W tenham dimensão finita. Mostre que:”. Infelizmente ele está incompleto — falta dizer exatamente o que devo mostrar. Isso acontece bastante nas provas: normalmente, depois dessa hipótese, o que se pede é uma propriedade clássica envolvendo uma aplicação linear T:V\to W, como o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) e suas consequências: injetividade vs. sobrejetividade em função das dimensões, etc. Vou então assumir o enunciado padrão e mostrar, passo a passo e de forma didática, as afirmações clássicas abaixo, que costumam ser justamente o que se pede em exercícios desse tipo:
  • Para toda aplicação linear T:V\to W vale \dim V = \dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T (teorema da dimensão / posto-nulidade).
  • Como consequência: se T é injetora então \dim V \le \dim W; se T é sobrejetora então \dim V \ge \dim W.
  • Se \dim V=\dim W então T é injetora se, e somente se, é sobrejetora (equivalência e então isomorfismo).
Se você queria mostrar outra coisa, me desculpa — mas essas são as propriedades mais prováveis e úteis. Vou provar tudo isso detalhadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar (e aprender) os conceitos que vamos usar. Vou explicar como se estivéssemos juntos resolvendo na prova.
Definições e ideias básicas:
  • Um conjunto de vetores B\subset V é uma base de V se os vetores de B são linearmente independentes e geram V. A dimensão de V, escrita \dim V, é o número de vetores em qualquer base de V (isso faz sentido porque todas as bases têm o mesmo número de vetores).
  • Para uma aplicação linear T:V\to W:
    • O núcleo (ou kernel) é \ker T = \{v\in V \mid T(v)=0\}. É um subespaço de V.
    • A imagem (ou alcance) é \operatorname{Im}T = \{T(v)\mid v\in V\}. É um subespaço de W.
  • Ideia chave que vamos usar na prova: podemos tomar uma base do subespaço \ker T e estendê‑la a uma base de V. Depois veremos o que acontece quando aplicamos T aos vetores dessa base estendida.

Passo 3

Vamos provar o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity): para toda aplicação linear T:V\to W entre espaços vetoriais de dimensão finita vale
\dim V = \dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T.
Prova passo a passo:
  1. Tome uma base \mathcal{B}_0 de \ker T. Como \ker T é subespaço de V e tem dimensão finita, existe tal base. Suponha que \mathcal{B}_0 tenha k vetores, ou seja \dim\ker T = k.
  2. Como \mathcal{B}_0 é um conjunto de vetores linearmente independentes em V, podemos estendê‑lo a uma base \mathcal{B} de V. Isso é um resultado padrão: qualquer conjunto de vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão finita pode ser completado até uma base. Então \mathcal{B} tem, digamos, n vetores, onde n=\dim V.
  3. Escrevamos \mathcal{B} como concatenção
\mathcal{B} = (\,u_1,\dots,u_k,\; v_1,\dots,v_m\,),
onde (u_1,\dots,u_k) é a base de \ker T e m=n-k (porque \mathcal{B} tem n vetores no total).
4. Aplicamos T aos vetores de \mathcal{B}. Note que T(u_i)=0 para todo i=1,\dots,k, porque os u_i estão no núcleo. Então os vetores não triviais na imagem vêm dos v_j: considere o conjunto
\mathcal{C} = (\,T(v_1),\dots,T(v_m)\,)\subset\operatorname{Im}T.
  1. Vamos mostrar que \mathcal{C} é base de \operatorname{Im}T.
    • Primeiro, \mathcal{C} gera \operatorname{Im}T. De fato, qualquer vetor da imagem tem a forma T(x) com x\in V. Escrevendo x na base \mathcal{B} obtemos
    x = \sum_{i=1}^k a_i u_i + \sum_{j=1}^m b_j v_j.Aplicando T e usando linearidade, T(x) = \sum_{i=1}^k a_i T(u_i) + \sum_{j=1}^m b_j T(v_j) = \sum_{j=1}^m b_j T(v_j),pois T(u_i)=0. Assim qualquer T(x) é combinação linear dos T(v_j), logo \mathcal{C} gera \operatorname{Im}T.
    • Segundo, \mathcal{C} é linearmente independente. Suponha que haja escalares c_1,\dots,c_m com
    \sum_{j=1}^m c_j T(v_j) = 0.Pela linearidade, isto é T\!\big(\sum_{j=1}^m c_j v_j\big)=0, ou seja \sum_{j=1}^m c_j v_j \in \ker T. Mas os vetores u_1,\dots,u_k,v_1,\dots,v_m formam uma base de V, portanto são linearmente independentes. Em particular, a soma \sum_{j=1}^m c_j v_j só pode ser o vetor zero se todos os c_j forem zero. Assim \mathcal{C} é linearmente independente.
  2. Concluímos que \mathcal{C} é uma base de \operatorname{Im}T. Logo
\dim\operatorname{Im}T = m = n-k = \dim V - \dim\ker T.
Rearranjando, obtemos o enunciado do teorema:
\dim V = \dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T.
Isso prova o Rank–Nullity.

Passo 4

Agora extraímos consequências úteis — exatamente as que caem em provas e que ajudam a tomar decisões rápidas.
Consequência 1: Se T é injetora então \dim V \le \dim W.
Prova (didática): Se T é injetora então \ker T=\{0\}. Assim \dim\ker T = 0. Pelo teorema da dimensão,
\dim V = 0 + \dim\operatorname{Im}T = \dim\operatorname{Im}T.
Mas \operatorname{Im}T é subespaço de W, então \dim\operatorname{Im}T \le \dim W. Portanto \dim V \le \dim W. Intuição: uma injeção de um espaço maior para um menor é impossível porque uma base do domínio teria mais vetores que uma base do contradomínio — sobraria “espaço” para colidir.

Passo 5

Consequência 2: Se T é sobrejetora então \dim V \ge \dim W.
Prova (didática): Se T é sobrejetora então \operatorname{Im}T = W. Pelo teorema da dimensão,
\dim V = \dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T = \dim\ker T + \dim W.
Como \dim\ker T \ge 0, deduzimos \dim V \ge \dim W. Intuição: para cobrir todo W com imagens de V precisa haver pelo menos tantos graus de liberdade em V quantos em W.

Passo 6

Consequência 3 (caso crítico): Se \dim V = \dim W então para uma aplicação linear T:V\to W as propriedades “injetora” e “sobrejetora” são equivalentes; em particular, se T é injetora ou sobrejetora então T é um isomorfismo (tem inversa linear).
Prova (didática):
  • Se T é injetora então, pela Consequência 1, \dim V \le \dim W. Mas aqui \dim V=\dim W, então \dim\operatorname{Im}T = \dim V. Como \operatorname{Im}T é subespaço de W com mesma dimensão de W, temos \operatorname{Im}T=W. Logo T é sobrejetora. Portanto injetora implica sobrejetora.
  • A demonstração inversa é análoga: se T é sobrejetora, pela Consequência 2 temos \dim V \ge \dim W. Com iguais dimensões, \dim\ker T=0 e então T é injetora.
  • Logo, se \dim V=\dim W e T é injetora (ou sobrejetora), então T é bijetora e linear, portanto é um isomorfismo linear (possui inversa linear).

Passo 7

Dicas práticas para a prova (modo amigão que te acalma):
  • Sempre que o enunciado disser "mostre que existe uma aplicação linear injetora/ sobrejetora entre V e W" verifique primeiro as dimensões. Se \dim V<\dim W não existe aplicação linear sobrejetora de V para W. Se \dim V>\dim W não existe aplicação linear injetora de V para W.
  • Para mostrar injetividade mostre que \ker T=\{0\}. Para mostrar sobrejetividade mostre que a imagem gera W (ou compare dimensões).
  • Memorize o Rank–Nullity; ele resolve muitos exercícios em um minuto: \dim V = \dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T.

Resposta

Para toda aplicação linear T:V\to W entre espaços vetoriais de dimensão finita vale:
\dim V = \dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T.\n
Se T é injetora então \dim V \le \dim W.\n
Se T é sobrejetora então \dim V \ge \dim W.\n
Se \dim V=\dim W então T é injetora se, e somente se, é sobrejetora (portanto é um isomorfismo).

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