Suponha que a matriz de coeficientes 3 times 5 de um sistema linear tenha três colunas pivôs. O sistema é consistente? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz de coeficientes que é 3×5, ou seja, tem 3 linhas e 5 colunas. A gente quer saber se o sistema linear formado por essa matriz é consistente, ou seja, se ele tem pelo menos uma solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes, pivôs e consistência de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter três colunas pivôs numa matriz. Em álgebra linear, um pivô é basicamente o primeiro número diferente de zero em uma linha após colocarmos a matriz na forma escalonada. Ter três colunas pivôs numa matriz 3×5 significa que cada uma das três linhas tem um pivô, e não há linhas todas de zero.

Passo 3

Agora, para saber se o sistema é consistente, precisamos verificar se há alguma contradição nas equações. Um sistema é consistente se, ao resolver, não aparecer nada como 0 = 1 ou qualquer outra coisa absurda. Como nossa matriz tem três pivôs e nenhuma linha está completamente de zero, não temos esse tipo de contradição.

Passo 4

Além disso, como temos três pivôs e três equações, mesmo com cinco variáveis, isso significa que existem soluções para o sistema. Pode ser que haja infinitas soluções, mas pelo menos uma solução existe, garantindo que o sistema é consistente.

Resposta

Sim, o sistema é consistente porque a matriz de coeficientes 3×5 tem três colunas pivôs, o que garante que não há contradições nas equações e que pelo menos uma solução existe.

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