Suponha que um conjunto de dados experimentais seja representado por um conjunto de pontos do plano. Um polinômio interpolador para esse conjunto de dados é um polinômio cujo gráfico contém cada ponto. Em trabalhos científicos, esse polinômio pode ser usado, por exemplo, para obter estimativas de valores entre os pontos conhecidos. Outra aplicação é a criação de curvas para imagens gráficas na tela de um computador. Um método para determinar um polinômio interpolador é resolver um sistema de equações lineares.
Determine o polinômio interpolador para o conjunto de dados .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar um polinômio do segundo grau, ou seja, da forma , que passa pelos pontos dados: (1,12), (2,15) e (3,16). Isso está ligado ao conteúdo de interpolação de polinômios e sistemas de equações lineares. Para isso, vamos montar um sistema com essas informações e resolver para encontrar os coeficientes , e .
Passo 2
Primeiro, vamos usar cada ponto para criar uma equação. Sabemos que o polinômio deve passar por cada um desses pontos. Então, substituímos e pelos valores dos pontos.
Para o ponto (1,12):
Simplificando:
Passo 3
Para o ponto (2,15):
Simplificando:
Passo 4
Para o ponto (3,16):
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira fácil é eliminar uma variável. Vamos eliminar a0 .
Passo 6
Subtraia a primeira equação da segunda para eliminar a0 :
(a0 + 2a1 + 4a2) - (a0 + a1 + a2) = 15 - 12
a1 + 3a2 = 3 (Equação 4) çã
Passo 7
Faça o mesmo com a terceira equação menos a primeira: