Suponha que um conjunto de dados experimentais seja representado por um conjunto de pontos do plano. Um polinômio interpolador para esse conjunto de dados é um polinômio cujo gráfico contém cada ponto. Em trabalhos científicos, esse polinômio pode ser usado, por exemplo, para obter estimativas de valores entre os pontos conhecidos. Outra aplicação é a criação de curvas para imagens gráficas na tela de um computador. Um método para determinar um polinômio interpolador é resolver um sistema de equações lineares.
Determine o polinômio interpolador p(t)= a0+a1 t+a2 t^2 para o conjunto de dados (1,12),(2,15),(3,16).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar um polinômio do segundo grau, ou seja, da forma p(t) = a0 + a1 t + a2 t^2 , que passa pelos pontos dados: (1,12), (2,15) e (3,16). Isso está ligado ao conteúdo de interpolação de polinômios e sistemas de equações lineares. Para isso, vamos montar um sistema com essas informações e resolver para encontrar os coeficientes a0 , a1 e a2 .

Passo 2

Primeiro, vamos usar cada ponto para criar uma equação. Sabemos que o polinômio p(t) deve passar por cada um desses pontos. Então, substituímos t e p(t) pelos valores dos pontos.
Para o ponto (1,12):
12 = a0 + a1(1) + a2(1)^2
Simplificando:
12 = a0 + a1 + a2

Passo 3

Para o ponto (2,15):
15 = a0 + a1(2) + a2(2)^2
Simplificando:
15 = a0 + 2a1 + 4a2

Passo 4

Para o ponto (3,16):
16 = a0 + a1(3) + a2(3)^2
Simplificando:
16 = a0 + 3a1 + 9a2

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
a0 + a1 + a2 = 12 a0 + 2a1 + 4a2 = 15 a0 + 3a1 + 9a2 = 16
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira fácil é eliminar uma variável. Vamos eliminar a0 .

Passo 6

Subtraia a primeira equação da segunda para eliminar a0 :
(a0 + 2a1 + 4a2) - (a0 + a1 + a2) = 15 - 12
a1 + 3a2 = 3 (Equação 4) çã

Passo 7

Faça o mesmo com a terceira equação menos a primeira:
(a0 + 3a1 + 9a2) - (a0 + a1 + a2) = 16 - 12
2a1 + 8a2 = 4 (Equação 5) çã

Passo 8

Agora temos um sistema menor com duas equações:
a1 + 3a2 = 3 (Equação 4) 2a1 + 8a2 = 4 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver para a1 e a2 . Podemos multiplicar a Equação 4 por 2 para facilitar a eliminação:
2a1 + 6a2 = 6 (Equação 6) çã

Passo 9

Subtraia a Equação 5 da Equação 6:
(2a1 + 6a2) - (2a1 + 8a2) = 6 - 4
-2a2 = 2
a2 = -1

Passo 10

Agora que temos a2 = -1 , substituímos esse valor na Equação 4 para encontrar a1 :
a1 + 3(-1) = 3
a1 - 3 = 3
a1 = 6

Passo 11

Com a1 = 6 e a2 = -1 , vamos voltar à primeira equação para encontrar a0 :
a0 + 6 + (-1) = 12
a0 + 5 = 12
a0 = 7

Resposta

O polinômio interpolador é:
p(t) = 7 + 6t - t^2

Exercícios relacionados