Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
Em alguns casos, uma matriz pode ser equivalente por linhas a mais de uma matriz em forma escada usando sequências diferentes de operações elementares.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A afirmação diz: “Em alguns casos, uma matriz pode ser equivalente por linhas a mais de uma matriz em forma escada usando sequências diferentes de operações elementares.”
Aqui, estamos trabalhando com matrizes, especificamente com equivalência por linhas e forma escada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operações elementares e a definição de forma escada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser equivalente por linhas. Duas matrizes são equivalentes por linhas se uma pode ser obtida da outra através de uma sequência de operações elementares de linha, que são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.

Passo 3

Agora, sobre a forma escada, uma matriz está em forma escada se:
  • Todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros.
  • O primeiro elemento não nulo de cada linha (chamado de pivô) está à direita do pivô da linha acima.
  • Todas as linhas de zeros, se existirem, estão na parte inferior da matriz.

Passo 4

A questão é se uma mesma matriz pode ser transformada em mais de uma forma escada diferente usando sequências distintas de operações elementares.
Na verdade, isso é possível porque as operações elementares não conduzem necessariamente a uma única forma escada. Por exemplo, a ordem em que você faz as trocas de linhas ou as combinações de linhas pode resultar em diferentes posições dos pivôs, mas ainda assim em uma forma escada válida.

Passo 5

Portanto, a afirmação está dizendo que pode haver mais de uma forma escada para uma mesma matriz via operações diferentes, e isso é verdadeiro. Cada sequência diferente de operações pode levar a uma forma escada distinta, mesmo que ambas as formas sejam válidas.

Resposta

Verdadeira. É possível que uma mesma matriz seja equivalente por linhas a mais de uma forma escada diferente, dependendo das operações elementares usadas na transformação.

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