Sendo o operador de spin S=hbar sigma / 2 para um dado sistema físico de spin 1 / 2 que sabe-se, está inicialmente num auto-estado de spin S cdot n, na direção n, cujo auto-valor vale hbar / 2, ou seja:
|sigma cdot n,+rang<==cos (beta2)|+rang<=+e^i alpha sin (beta2)|-rang<=
sendo |+rang<= e |-rang<= os autoestados da matriz Sz com autovalores +hbar / 2 e -hbar / 2, respectivamente, e estando n contido no plano x z. Qual a probabilidade de que uma medida de Sx, ou seja, do spin na direção x, tenha como resultado +hbar / 2 ?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de medir S_x = +ħ/2 num sistema de spin 1/2 que está inicialmente no autoestado de S·n com autovalor +ħ/2, sendo n contido no plano xz. O conteúdo é projeção de estados quânticos e vamos precisar expressar tanto o estado inicial quanto o autoestado de S_x na base de S_z e usar produto interno para achar amplitudes.

Passo 2

Em primeiro lugar, escrevemos o estado inicial, que é autovetor de σ·n, na base de S_z (|+⟩ e |−⟩):
|ψ⟩ = |σ·hat n,+⟩ = cosl(tfracβ2r)|+⟩ + e^iαsinl(tfracβ2r)|-⟩,
e o autoestado de S_x com autovalor +ħ/2 na mesma base é
|+x⟩ = 1raiz2l(|+⟩ + |−⟩r)

Passo 3

Como n está no plano xz, o ângulo azimutal α = 0, então o estado inicial simplifica para
|ψ⟩ = cosl(tfracβ2r)|+⟩ + sinl(tfracβ2r)|-⟩
A amplitude para medir +ħ/2 em x é o produto interno ⟨+x|ψ⟩:
⟨+x|ψ⟩ = 1raiz2l(⟨+| + ⟨-|r)l(costfracβ2|+⟩ + sintfracβ2|-⟩r) = 1raiz2l(costfracβ2 + sintfracβ2r)

Passo 4

A probabilidade é o quadrado do módulo dessa amplitude:
P = l|⟨+x|ψ⟩r|^2 = 12l(costfracβ2 + sintfracβ2r)^2
Expandindo a soma de quadrados e o termo cruzado,
(costfracβ2)^2 + (sintfracβ2)^2 + 2costfracβ2sintfracβ2 = 1 + sinβ,
o que dá final_answer:'A probabilidade de obter +ħ/2 ao medir S_x é
P = 1 + sinβ2

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