Sendo o operador de
para um dado sistema físico de spin
que sabe-se, está inicialmente num auto-estado de
, na direção
, cujo auto-valor vale
, ou seja:
sendo
e
os autoestados da matriz
com autovalores
e
, respectivamente, e estando
contido no plano
. Qual a probabilidade de que uma medida de
, ou seja, do spin na direção
, tenha como resultado
?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de medir S_x = +ħ/2 num sistema de spin 1/2 que está inicialmente no autoestado de S·n com autovalor +ħ/2, sendo n contido no plano xz. O conteúdo é projeção de estados quânticos e vamos precisar expressar tanto o estado inicial quanto o autoestado de S_x na base de S_z e usar produto interno para achar amplitudes.
Passo 2
Em primeiro lugar, escrevemos o estado inicial, que é autovetor de σ·n, na base de S_z (|+⟩ e |−⟩):
e o autoestado de S_x com autovalor +ħ/2 na mesma base é
Passo 3
Como n está no plano xz, o ângulo azimutal α = 0, então o estado inicial simplifica para
A amplitude para medir +ħ/2 em x é o produto interno ⟨+x|ψ⟩:
Passo 4
A probabilidade é o quadrado do módulo dessa amplitude:
Expandindo a soma de quadrados e o termo cruzado,
o que dá final_answer:'A probabilidade de obter +ħ/2 ao medir S_x é