Em um meio com propriedades \sigma=0,00964 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \epsilon_{r}=1,0 e \mu_{r}=100,0; um campo magnético de amplitude 1,0 \mathrm{mA} / \mathrm{m} se propaga na direção +x a 100,0 \mathrm{MHz} com seu vetor de campo na direção z. Determine a forma instantânea da intensidade de campo elétrico associada.
\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{y}}(z, t)=2.663 e^{-14.82 z} \cos (\omega t-25.67 z+0.52) \underline{\hat{\imath}} V / m

Passo 1

Vamos organizar certinho o que o enunciado nos deu e o que pede — respira, vai dar certo!
Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
  • condutividade: \sigma = 0{,}00964\\ \mathrm{S/m},
  • constante dielétrica relativa: \epsilon_{r} = 1{,}0,
  • permeabilidade relativa: \mu_{r} = 100{,}0,
  • frequência: f = 100{,}0\\ \mathrm{MHz},
  • amplitude do campo magnético: H_0 = 1{,}0\\ \mathrm{mA/m} = 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{A/m},
  • direção de propagação: +\!x,
  • direção do vetor magnético: +\!z.
Pedido:
  • determinar a forma instantânea do campo elétrico associado (ou seja, \boldsymbol{E}(x,t) no tempo real).

Passo 2

Ideia física e fórmulas-chaves (mini-aula rápida e prática):
  • Em um plano de onda plana que se propaga na direção \hat{\mathbf{k}} = \hat{\mathbf{x}} num meio homogêneo e isotrópico, os campos vetoriais \boldsymbol{E}, \boldsymbol{H} e \hat{\mathbf{k}} formam um triêdo de mão direita. Com \boldsymbol{H} na direção \hat{\mathbf{z}} e \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{x}}, o campo elétrico aponta na direção \hat{\mathbf{y}} (porque \hat{\mathbf{y}}\times\hat{\mathbf{z}}=\hat{\mathbf{x}} ou, equivalentemente, \boldsymbol{E}=\eta\,(\boldsymbol{H}\times\hat{\mathbf{k}}) \hat{\mathbf{y}}).
  • No domínio fasorial (frequência fixa), as quantidades essenciais são: \gamma=\alpha + j\beta=\sqrt{j\omega\mu\,( \sigma + j\omega\epsilon )}que é a constante de propagação (com \alpha em Np/m e \beta em rad/m);
    e a impedância intrínseca do meio \eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\epsilon}}.Aqui:
    • \omega=2\pi f é a pulsação (rad/s),
    • \epsilon=\epsilon_0\epsilon_r e \mu=\mu_0\mu_r,
    • j=\sqrt{-1}.
  • A relação fasorial entre E e H para a onda é \tilde{\boldsymbol{E}}(x)=\eta\,\big(\tilde{\boldsymbol{H}}\times\hat{\mathbf{k}}\big)\,e^{-\gamma x}.Para passar ao domínio temporal, usa-se \boldsymbol{E}(x,t)=\Re\{ \tilde{\boldsymbol{E}}(x)\,e^{j\omega t}\}.
  • Comentário didático: a raiz quadrada de número complexo é feita passando o número a forma polar (magnitude e ângulo), tirando raiz da magnitude e dividindo o ângulo por dois — vou usar esse procedimento nas contas.

Passo 3

Calculemos constantes físicas e \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 100\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}=6{,}2831853\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
Constantes do meio:
\epsilon = \epsilon_0\epsilon_r = 8{,}854187817\times10^{-12}\cdot 1{,}0 = 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
\mu = \mu_0\mu_r = 4\pi\times10^{-7}\cdot 100 = 1{,}25663706\times10^{-4}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 4

Calculemos j\omega\epsilon e o termo \sigma + j\omega\epsilon (estes têm unidade S/m):
j\omega\epsilon = j\,(6{,}2831853\times10^{8})\,(8{,}854187817\times10^{-12}) = j\,5{,}566\times10^{-3}\\ \mathrm{S/m}\quad(\text{aprox.}).
Logo
\sigma + j\omega\epsilon = 0{,}00964 + j\,0{,}005566\\ \mathrm{S/m}.

Passo 5

Calculemos j\omega\mu (unidade: \Omega\cdot\mathrm{S} que combina corretamente nas fórmulas):
j\omega\mu = j\,(6{,}2831853\times10^{8})\,(1{,}25663706\times10^{-4}) = j\,7{,}8957\times10^{4}\quad(\text{aprox. }j\,78957).

Passo 6

Agora a constante de propagação:
\gamma=\sqrt{j\omega\mu\,( \sigma + j\omega\epsilon )}.
Primeiro calculemos o produto dentro da raiz (fazer multiplicação complexa):
j\omega\mu\,( \sigma + j\omega\epsilon ) = j\,78957\cdot(0{,}00964 + j\,0{,}005566).
Multiplicando:
j\,78957\cdot(0{,}00964) = j\,760{,}9,\qquad j\,78957\cdot j\,0{,}005566 = -78957\cdot0{,}005566 = -439{,}7.
Logo o número complexo a ser raizado é
-439{,}7 + j\,760{,}9.
Passamos para forma polar: magnitude r=\sqrt{(-439{,}7)^2+(760{,}9)^2}\approx 8{,}788\times10^{2} e ângulo \varphi\approx 2{,}094\\ \mathrm{rad} (≈119{,}9°).
A raiz quadrada tem magnitude \sqrt{r}\approx 29{,}65 e ângulo \varphi/2\approx1{,}047\\ \mathrm{rad} (≈60°). Convertendo de volta a forma retangular:
\gamma = \alpha + j\beta \approx 29{,}65(\cos1{,}047 + j\sin1{,}047) \approx 14{,}825 + j\,25{,}67\\ \text{(métrica)}.é
Arredondando coerentemente:
\alpha \approx 14{,}82\\ \mathrm{Np/m},\qquad \beta \approx 25{,}67\\ \mathrm{rad/m}.
Interpretação rápida: a amplitude decai como e^{-\alpha x}=e^{-14{,}82 x} e a fase espacial varia como -\beta x.

Passo 7

Agora a impedância intrínseca \eta:
\eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\epsilon}}.
Usando os valores já calculados, primeiro façamos a divisão complexa (j\omega\mu)/(\sigma + j\omega\epsilon); o resultado em forma polar dá, após a raiz, um módulo e um ângulo. Fazendo os cálculos (procedimento polar semelhante ao do passo anterior) obtém-se:
\eta \approx 2664{,}5\;e^{j\,0{,}5245}\\ \Omega.
Isto é,
|\eta|\approx 2664{,}5\\ \Omega,\qquad \arg(\eta)\approx 0{,}5245\\ \mathrm{rad}\\ (\approx 30{,}05^\circ).
Multiplicando pela amplitude do campo magnético H_0=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{A/m} obtém-se a amplitude do campo elétrico (no domínio fasorial):
E_0 = |\eta| H_0 \approx 2664{,}5\times10^{-3}=2{,}6645\\ \mathrm{V/m}.
A fase associada ao campo elétrico (relativa ao fasor H escolhido com fase zero) é \varphi=\arg(\eta)\approx 0{,}5245\\ \mathrm{rad}.

Passo 8

Construção do campo elétrico no tempo real:
  • O fasor do campo magnético (assumindo fase de referência zero) é \tilde{\boldsymbol{H}}(x)=H_0\,\hat{\mathbf{z}}\,e^{-\gamma x}.
  • Pelo passo 2, o fasor do campo elétrico é \tilde{\boldsymbol{E}}(x)=\eta\left(\tilde{\boldsymbol{H}}(x)\times\hat{\mathbf{k}}\right) =\eta H_0\,e^{-\gamma x}\,(\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{x}}).Como \hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{y}}, obtemos \tilde{\boldsymbol{E}}(x)=\eta H_0 e^{-\gamma x}\hat{\mathbf{y}}.
  • Voltando ao domínio temporal: \boldsymbol{E}(x,t)=\Re\{\tilde{\boldsymbol{E}}(x)e^{j\omega t}\} =|\eta|H_0 e^{-\alpha x}\cos\!\big(\omega t - \beta x + \arg(\eta)\big)\,\hat{\mathbf{y}}.
Substituindo os valores numéricos calculados ( |\eta|H_0\approx2{,}6645\\ \mathrm{V/m}, \alpha\approx14{,}825, \beta\approx25{,}67, \arg(\eta)\approx0{,}5245\\ \mathrm{rad}) e arredondando para três casas significativas de forma consistente, obtemos a expressão final.

Passo 9

Expressão final (forma instantânea) com os números arredondados de forma consistente:
\boldsymbol{E}(x,t)=2{,}663\;e^{-14{,}82\,x}\cos\!\big(\omega t - 25{,}67\,x + 0{,}52\big)\,\hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{V/m},
com \omega=2\pi\cdot100{,}0\\ \mathrm{MHz}.

Resposta

\boldsymbol{E}(x,t)=2{,}663\,e^{-14{,}82\,x}\cos\!\big(\omega t-25{,}67\,x+0{,}52\big)\,\hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{V/m}

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