Em um meio com propriedades
e
; um campo magnético de amplitude 1,0
se propaga na direção
a
com seu vetor de campo na direção
. Determine a forma instantânea da intensidade de campo elétrico associada.
Passo 1
Vamos organizar certinho o que o enunciado nos deu e o que pede — respira, vai dar certo!
Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
- condutividade:
, - constante dielétrica relativa:
, - permeabilidade relativa:
, - frequência:
, - amplitude do campo magnético:
, - direção de propagação:
, - direção do vetor magnético:
.
Pedido:
- determinar a forma instantânea do campo elétrico associado (ou seja,
no tempo real).
Passo 2
Ideia física e fórmulas-chaves (mini-aula rápida e prática):
- Em um plano de onda plana que se propaga na direção
num meio homogêneo e isotrópico, os campos vetoriais , e formam um triêdo de mão direita. Com na direção e , o campo elétrico aponta na direção (porque ou, equivalentemente, dá ). - No domínio fasorial (frequência fixa), as quantidades essenciais são:
que é a constante de propagação (com em Np/m e em rad/m);
e a impedância intrínseca do meioAqui: -
é a pulsação (rad/s), -
e , -
.
-
- A relação fasorial entre
e para a onda é Para passar ao domínio temporal, usa-se - Comentário didático: a raiz quadrada de número complexo é feita passando o número a forma polar (magnitude e ângulo), tirando raiz da magnitude e dividindo o ângulo por dois — vou usar esse procedimento nas contas.
Passo 3
Calculemos constantes físicas e
:
Constantes do meio:
Passo 4
Calculemos
e o termo
(estes têm unidade S/m):
Logo
Passo 5
Calculemos
(unidade:
que combina corretamente nas fórmulas):
Passo 6
Agora a constante de propagação:
Primeiro calculemos o produto dentro da raiz (fazer multiplicação complexa):
Multiplicando:
Logo o número complexo a ser raizado é
Passamos para forma polar: magnitude
e ângulo
(≈119{,}9°).
A raiz quadrada tem magnitude e ângulo
(≈60°). Convertendo de volta a forma retangular:
A raiz quadrada tem magnitude
Arredondando coerentemente:
Interpretação rápida: a amplitude decai como
e a fase espacial varia como
.
Passo 7
Agora a impedância intrínseca
:
Usando os valores já calculados, primeiro façamos a divisão complexa
; o resultado em forma polar dá, após a raiz, um módulo e um ângulo. Fazendo os cálculos (procedimento polar semelhante ao do passo anterior) obtém-se:
Isto é,
Multiplicando pela amplitude do campo magnético
obtém-se a amplitude do campo elétrico (no domínio fasorial):
A fase associada ao campo elétrico (relativa ao fasor
escolhido com fase zero) é
.
Passo 8
Construção do campo elétrico no tempo real:
- O fasor do campo magnético (assumindo fase de referência zero) é
. - Pelo passo 2, o fasor do campo elétrico é
Como , obtemos . - Voltando ao domínio temporal:
Substituindo os valores numéricos calculados (
,
,
,
) e arredondando para três casas significativas de forma consistente, obtemos a expressão final.
Passo 9
Expressão final (forma instantânea) com os números arredondados de forma consistente:
com
.