Em um material não-magnético sem perdas
, determine a velocidade de propagação, a impedância característica do meio e a expressão instantânea para a intensidade de campo elétrico.
Passo 1
Vou listar claramente os dados fornecidos e o que é pedido (peguei estes dados do enunciado).
-
Dados fornecidos:
- Meio não magnético e sem perdas, logo
e . - Campo magnético instantâneo:
Aqui observe que a unidade está em . - O termo de fase é
, portanto o número de onda (fase por unidade de comprimento) é (positivo indica propagação no sentido + ).
- Meio não magnético e sem perdas, logo
-
O enunciado pede:
- A velocidade de propagação do pulso (velocidade de fase)
. - A impedância característica do meio
. - A expressão instantânea para o campo elétrico
.
- A velocidade de propagação do pulso (velocidade de fase)
Passo 2
Primeira etapa prática: normalizar unidades do campo magnético e reconhecer
.
-
Converter amplitude de
de para : Então podemos escrever -
Identificamos o número de onda:
Passo 3
Calcular a velocidade de fase
.
-
Fórmula geral para velocidade de fase de uma onda eletromagnética em meio homogêneo sem perdas:Aqui
e . Como , O termoé a velocidade da luz no vácuo . Logo -
Substituindo
e (logo ):
(Observação didática: também poderíamos obter
por
se
fosse conhecido; como
, as duas formas são equivalentes.)
Passo 4
Calcular a impedância característica
do meio.
-
Fórmula da impedância característica de um meio sem perdas:Como
, isso reduz a onde(valor exato prático costuma ser escrito ou arredondado para ). -
Substituindo
:
(Explicação curta: a impedância diminui com o aumento da permitividade relativa porque o campo elétrico necessário para sustentar a mesma onda magnética é menor.)
Passo 5
Relacionar
e
para a onda plana e determinar a direção correta de
.
-
Relação vetorial entre
, e o vetor unitário de propagação para uma onda progressiva sem perdas: Essa forma garante queesteja no sentido de (Poynting vector aponta na direção de propagação). Podemos reescrever para : (Derivação curta: multiplicando a equação pore fazendo em ambos os lados obtém-se , e isso respeita a regra mão-direita .) -
No nosso caso
(propagação + ) e está ao longo de (ou ). Aplicando o produto vetorial: EntãoSubstituindo: -
Ou seja,
está ao longo de (positivo), justamente de forma que a favor da propagação + .
Passo 6
Calcular a amplitude numérica de
e escrever a expressão instantânea final.
-
Amplitude de
: Arredondando de forma prática para duas casas decimais: -
Portanto a expressão instantânea do campo elétrico é
Passo 7
Breve checagem de consistência (sanity check):
- Produto vetorial dá corretamente
, então o fluxo de energia é para + , consistente com fase . - Relação de amplitudes:
foi verificada numericamente.