Em um material não-magnético sem perdas \operatorname{com} \epsilon_{r}=16, \boldsymbol{H}_{\boldsymbol{y}}(z, t)=100 \cos (\omega t-10 z) \hat{\mathbf{j}} \mathrm{mA} / \mathrm{m}, determine a velocidade de propagação, a impedância característica do meio e a expressão instantânea para a intensidade de campo elétrico.
\mathrm{R}: v_{p}=7.485 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \quad \eta=94.184 \Omega \quad \boldsymbol{E}_{x}(z, t)=9.42 \cos (\omega t-10 \mathrm{z}) \underline{\hat{\imath}} \mathrm{V} / \mathrm{m}

Passo 1

Vou listar claramente os dados fornecidos e o que é pedido (peguei estes dados do enunciado).
  • Dados fornecidos:
    • Meio não magnético e sem perdas, logo \mu_{r}=1 e \epsilon_{r}=16.
    • Campo magnético instantâneo: \boldsymbol{H}_{y}(z,t)=100\cos(\omega t-10 z)\,\hat{\mathbf{j}}\\ \text{mA}/\text{m}.Aqui observe que a unidade está em \text{mA}/\text{m}.
    • O termo de fase é \omega t-10 z, portanto o número de onda (fase por unidade de comprimento) é k=10\\ \text{rad/m} (positivo indica propagação no sentido + z).
  • O enunciado pede:
    1. A velocidade de propagação do pulso (velocidade de fase) v_{p}.
    2. A impedância característica do meio \eta.
    3. A expressão instantânea para o campo elétrico \boldsymbol{E}(z,t).

Passo 2

Primeira etapa prática: normalizar unidades do campo magnético e reconhecer k.
  • Converter amplitude de \boldsymbol{H} de \text{mA}/\text{m} para \text{A}/\text{m}:
    100\\ \text{mA}/\text{m}=100\times 10^{-3}\\ \text{A}/\text{m}=0{,}1\\ \text{A}/\text{m}.
    Então podemos escrever
    \boldsymbol{H}(z,t)=0{,}1\cos(\omega t-10 z)\,\hat{\mathbf{j}}\\ \text{A}/\text{m}.
  • Identificamos o número de onda:
    k=10\\ \text{rad/m}.

Passo 3

Calcular a velocidade de fase v_{p}.
  • Fórmula geral para velocidade de fase de uma onda eletromagnética em meio homogêneo sem perdas:
    v_{p}=\frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}}.
    Aqui \mu=\mu_0\mu_{r} e \epsilon=\epsilon_0\epsilon_{r}. Como \mu_{r}=1,
    v_{p}=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0\epsilon_{r}}}=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}\cdot\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{r}}}.
    O termo 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0} é a velocidade da luz no vácuo c. Logo
    v_{p}=\frac{c}{\sqrt{\epsilon_{r}}}.
  • Substituindo c\approx 299\,792\,458\\ \text{m/s} e \epsilon_{r}=16 (logo \sqrt{\epsilon_{r}}=4):
    v_{p}=\frac{299\,792\,458}{4}=74\,948\,114{,}5\\ \text{m/s}\approx 7{,}4948\times 10^{7}\\ \text{m/s}.
(Observação didática: também poderíamos obter v_p por v_p=\omega/k se \omega fosse conhecido; como k=\omega\sqrt{\mu\epsilon}, as duas formas são equivalentes.)

Passo 4

Calcular a impedância característica \eta do meio.
  • Fórmula da impedância característica de um meio sem perdas:
    \eta=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}=\sqrt{\frac{\mu_0\mu_{r}}{\epsilon_0\epsilon_{r}}}=\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}\sqrt{\frac{\mu_{r}}{\epsilon_{r}}}.
    Como \mu_{r}=1, isso reduz a
    \eta=\eta_0\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{r}}},
    onde \eta_0=\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}\approx 376{,}730\\ \Omega (valor exato prático costuma ser escrito \approx 376{,}73\\ \Omega ou arredondado para 377\\ \Omega).
  • Substituindo \epsilon_{r}=16:
    \eta=\frac{\eta_0}{4}\approx\frac{376{,}730}{4}=94{,}1825\\ \Omega\approx 94{,}184\\ \Omega.
(Explicação curta: a impedância diminui com o aumento da permitividade relativa porque o campo elétrico necessário para sustentar a mesma onda magnética é menor.)

Passo 5

Relacionar \boldsymbol{E} e \boldsymbol{H} para a onda plana e determinar a direção correta de \boldsymbol{E}.
  • Relação vetorial entre \boldsymbol{E}, \boldsymbol{H} e o vetor unitário de propagação \hat{k} para uma onda progressiva sem perdas:
    \boldsymbol{H}=\frac{1}{\eta}\,\hat{k}\times\boldsymbol{E}.
    Essa forma garante que \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H} esteja no sentido de \hat{k} (Poynting vector aponta na direção de propagação). Podemos reescrever para \boldsymbol{E}:
    \boldsymbol{E}=-\eta\,\hat{k}\times\boldsymbol{H}.
    (Derivação curta: multiplicando a equação por \eta e fazendo \hat{k}\times em ambos os lados obtém-se \boldsymbol{E}=-\eta\,\hat{k}\times\boldsymbol{H}, e isso respeita a regra mão-direita \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H} \parallel \hat{k}.)
  • No nosso caso \hat{k}=\hat{\mathbf{z}} (propagação + z) e \boldsymbol{H} está ao longo de \hat{\mathbf{j}} (ou \hat{\mathbf{y}}). Aplicando o produto vetorial:
    \hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{y}}= -\hat{\mathbf{x}}.
    Então
    \boldsymbol{E}=-\eta\big(\hat{\mathbf{z}}\times\boldsymbol{H}\big)=-\eta\big(\hat{\mathbf{z}}\times\big(0{,}1\cos(\omega t-10 z)\,\hat{\mathbf{y}}\big)\big).
    Substituindo \hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{y}}=-\hat{\mathbf{x}}:
    \boldsymbol{E}=-\eta\big(0{,}1\cos(\omega t-10 z)(-\hat{\mathbf{x}})\big)=\eta\cdot 0{,}1\cos(\omega t-10 z)\,\hat{\mathbf{x}}.
  • Ou seja, \boldsymbol{E} está ao longo de \hat{\mathbf{x}} (positivo), justamente de forma que \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}=\hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{z}} a favor da propagação + z.

Passo 6

Calcular a amplitude numérica de \boldsymbol{E} e escrever a expressão instantânea final.
  • Amplitude de \boldsymbol{E}:
    E_{\text{amp}}=\eta\cdot H_{\text{amp}}=\big(94{,}1825\\ \Omega\big)\times(0{,}1\\ \text{A}/\text{m})=9{,}41825\\ \text{V}/\text{m}.
    Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
    E_{\text{amp}}\approx 9{,}42\\ \text{V}/\text{m}.
  • Portanto a expressão instantânea do campo elétrico é
    \boldsymbol{E}(z,t)=9{,}42\cos(\omega t-10 z)\,\hat{\imath}\\ \text{V}/\text{m}.

Passo 7

Breve checagem de consistência (sanity check):
  • Produto vetorial dá corretamente \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}=\hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{z}}, então o fluxo de energia é para + z, consistente com fase (\omega t-10 z).
  • Relação de amplitudes: \dfrac{E_{\text{amp}}}{H_{\text{amp}}}=\eta foi verificada numericamente.

Resposta

v_{p}=7{,}4948\times 10^{7}\\ \text{m}/\text{s}
\eta=94{,}184\\ \Omega
\boldsymbol{E}(z,t)=9{,}42\cos(\omega t-10 z)\,\hat{\imath}\\ \text{V}/\text{m}

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