7 Suponha que uma molécula seja representada por uma carga -2 q na origem e cargas +q em l_{1} \mathrm{e} l_{2}, \operatorname{com}\left|l_{1}\right|=\left|l_{2}\right|=l.
a) Encontre o momento de dipolo da molécula.
b) Para \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}, l=0,958 \times 10^{-10} \mathrm{~m} e o ângulo entre l_{1} e l_{2} é \theta=105^{\circ}. Se p=6,14 \times 10^{-30} \mathrm{C} \cdot \mathrm{m}, encontre a carga efetiva q.

Passo 1

O enunciado descreve uma molécula com cargas +q nos vetores de posição \mathbf{l}_1 e \mathbf{l}_2 (ambos de módulo l) e carga -2q na origem.
Conteúdo: momento de dipolo elétrico, definido por
\mathbf{p}=\sum_i q_i\,\mathbf{r}_i.
Vamos usar essa definição para obter o vetor dipolar e depois seu módulo.

Passo 2

Aplico a definição do momento de dipolo à configuração:
  • duas cargas +q em \mathbf{l}_1 e \mathbf{l}_2,
  • uma carga -2q em \mathbf{0}.
    Logo
\mathbf{p} = q\,\mathbf{l}_1 + q\,\mathbf{l}_2 -2q\cdot\mathbf{0} = q\bigl(\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2\bigr).

Passo 3

Para obter o módulo, note que
|\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2| =\sqrt{l^2 + l^2 +2\,l^2\cos\theta} =\sqrt{2l^2(1+\cos\theta)} =2\,l\,\cos\frac{\theta}{2}.
Então
|\mathbf{p}| = q\,|\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2| =2\,q\,l\,\cos\frac{\theta}{2}.

Passo 4

Para a água \theta=105^\circ, l=0{,}958\times10^{-10}\,\mathrm{m} e sabendo p=6{,}14\times10^{-30}\,\mathrm{C\cdot m}, isolamos q:
q = \frac{p}{2\,l\,\cos\frac{\theta}{2}} = \frac{6{,}14\times10^{-30}}{2\cdot0{,}958\times10^{-10}\cdot\cos52{,}5^\circ} \approx5{,}27\times10^{-20}\,\mathrm{C}.
Em unidades de carga elementar e=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}, isso dá cerca de 0{,}33\,e.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{p}=q\bigl(\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2\bigr), de módulo \displaystyle |\mathbf{p}|=2\,q\,l\,\cos\frac{\theta}{2}.
(b) \displaystyle q\approx5{,}27\times10^{-20}\,\mathrm{C} (isto é, cerca de 0{,}33\,e).

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