11 Determine o potencial de um quadrupolo axial: cargas puntuais q,-2 q, q situadas sobre o eixo z, a distâncias l, 0,-l da origem. Determine o potencial apenas para distâncias r \gg l e demonstre que este potencial é proporcional a um dos harmônicos zonais.

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico de um sistema de três cargas pontuais alinhadas no eixo z: q em z=+l, -2q em z=0 e q em z=-l. Queremos a forma assintótica para distâncias grandes r\gg l e mostrar que o resultado é proporcional a um harmônico zonal de ordem 2 (isto é, a P_{2}(\cos\theta)). Vamos usar expansão multipolar com polinômios de Legendre.

Passo 2

Escrevemos o potencial total como soma dos potenciais individuais, usando
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\sum_{i}\frac{q_{i}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{i}|}\,,
onde, em coordenadas esféricas (r,\theta) e para uma carga em z'= \pm l, vale a expansão
\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} =\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty}\!P_{n}(\cos\theta)\,\Bigl(\frac{r'}{r}\Bigr)^{n} \quad(\,r\gg r'\,)\,.

Passo 3

Aplicando até ordem n=2 para cada carga:
  1. Para q em +l:
    \;r'=l, contribuição
    \;q\,\bigl[\frac{1}{r}+\frac{l}{r^{2}}P_{1}+\frac{l^{2}}{r^{3}}P_{2}+\cdots\bigr].
  2. Para -2q em 0:
    \;r'=0, só dá -2q\frac{1}{r}.
  3. Para q em -l:
    \;r'=l mas P_{1}(\cos(\pi-\theta))=-P_{1}(\cos\theta), P_{2} é o mesmo, logo
    \;q\bigl[\frac{1}{r}-\frac{l}{r^{2}}P_{1}+\frac{l^{2}}{r^{3}}P_{2}+\cdots\bigr].
Somando termos semelhantes:
  • Monopolo ( 1/r): q-2q+q=0.
  • Dipolo ( P_{1}/r^{2}): q\,l -2q\cdot0 -q\,l=0.
  • Quadrupolo ( P_{2}/r^{3}): q\,l^{2}+0+q\,l^{2}=2q\,l^{2}.

Passo 4

Portanto, para r\gg l o potencial fica, retendo só o termo n=2:
V(r,\theta)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \;\frac{2q\,l^{2}}{r^{3}}\;P_{2}(\cos\theta)\,.
Como
P_{2}(\cos\theta)=\tfrac{1}{2}\bigl(3\cos^{2}\theta-1\bigr),
temos finalmente
V(r,\theta)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \;\frac{2q\,l^{2}}{r^{3}}\; \tfrac{1}{2}\bigl(3\cos^{2}\theta-1\bigr) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{q\,l^{2}}{r^{3}}\bigl(3\cos^{2}\theta-1\bigr).

Resposta

V(r,\theta)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{q\,l^{2}}{r^{3}}\bigl(3\cos^{2}\theta-1\bigr),
que é proporcional ao harmônico zonal de ordem 2, P_{2}(\cos\theta).

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