11 Determine o potencial de um quadrupolo axial: cargas puntuais
situadas sobre o eixo
, a distâncias
da origem. Determine o potencial apenas para distâncias
e demonstre que este potencial é proporcional a um dos harmônicos zonais.
Passo 1
O enunciado pede o potencial elétrico de um sistema de três cargas pontuais alinhadas no eixo
:
em
,
em
e
em
. Queremos a forma assintótica para distâncias grandes
e mostrar que o resultado é proporcional a um harmônico zonal de ordem 2 (isto é, a
). Vamos usar expansão multipolar com polinômios de Legendre.
Passo 2
Escrevemos o potencial total como soma dos potenciais individuais, usando
onde, em coordenadas esféricas
e para uma carga em
, vale a expansão
Passo 3
Aplicando até ordem
para cada carga:
- Para
em :
, contribuição
. - Para
em :
, só dá . - Para
em :
mas , é o mesmo, logo
.
Somando termos semelhantes:
- Monopolo (
): . - Dipolo (
): . - Quadrupolo (
): .
Passo 4
Portanto, para
o potencial fica, retendo só o termo
:
Como
temos finalmente
Resposta
que é proporcional ao harmônico zonal de ordem 2,
.