( 2,5 ) Uma criança de 25,0 \mathrm{~kg} brinca em um balanço com cordas de suporte de 2,20 \mathrm{~m} de extensão. Seu irmão a puxa para trás até que as cordas estejam a 42^{\circ} da vertical e a solta do repouso. (a) Qual é sua energia potencial assim que ela é libe rada, em comparação com a energia potencial na parte inferior do movimento do balanço? (b) Com que velocidade ela estará se movendo na parte mais baixa? (c) Quanto trabalho a tensão nas cordas realiza enquanto ela balança da posição inicial até a parte mais baixa do movimento?
Use, se necessário:
\begin{aligned} & g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \quad \frac{d u^{n}}{d u}=n u^{n-1}, \quad \frac{d \ln (u)}{d u}=\frac{1}{u}, \quad \frac{d \sin (a u)}{d u}=a \cos (a u), \quad \frac{d \cos (a u)}{d u}=-a \sin (a u) \text {, } \\\ & \frac{d e^{a u}}{d u}=a e^{a u} \quad, \quad \int a u^{n} d u=\frac{a}{n+1} u^{n+1} \quad, \quad(n \neq-1) \quad, \quad \int \sin (a u) d u=-\frac{\cos (a u)}{a} \text {, } \\\ & \int \cos (a u) d u=\frac{\sin (a u)}{a}, \int e^{a u} d u=\frac{e^{a u}}{a}, \int \frac{1}{u} d u=\ln |u|,\left(E_{k}=(1 / 2) m v^{2} /, \quad W=\vec{F} \cdot \vec{d}, \quad W=\Delta E_{k}\right. \text {, } \\\ & W=\int_{x_{i}}^{x_{f}} F\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime} \quad, \quad(\sin \theta)^{\prime}=\cos \theta \quad, \quad f_{e, \max }=\mu_{e} N \quad, \quad f_{c, \max }=\mu_{c} N \quad, \quad a_{c}=v^{2} / R \quad, \quad \vec{F}_{r e s}=m \vec{a} \text {, } \\\ & \Delta E_{p}=E_{p, f}-E_{p, i}=-W, \quad E_{\text {mec }}=E_{k}+E_{p}, \Delta E_{\text {conserv }}=0, F_{\text {mola }}=-k x, F_{\text {gravit }}=m g,(\cos \theta)^{\prime}=-\sin \theta . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado diz que uma criança de massa m=25{,}0\\ \mathrm{kg} está num balanço cujo comprimento das cordas é L=2{,}20\\ \mathrm{m}. Ela é puxada até um ângulo de \theta=42^\circ em relação à vertical e solta do repouso. Precisamos usar conservação de energia mecânica e geometria do círculo para:
a) calcular a energia potencial inicial em relação ao ponto mais baixo;
b) obter a velocidade na posição mais baixa;
c) determinar o trabalho da tensão nas cordas.

Passo 2

Primeiro encontramos a diferença de altura h entre a posição inicial e a mais baixa. Como o balanço descreve um arco de raio L, a altura é
h = L - L\cos\theta = L\bigl(1 - \cos\theta\bigr).

Passo 3

Substituindo L=2{,}20\\ \mathrm{m} e \theta=42^\circ:
\cos42^\circ \approx 0{,}7431 \quad\Longrightarrow\quad h = 2{,}20\bigl(1 - 0{,}7431\bigr)\approx 0{,}5652\\ \mathrm{m}.
A energia potencial gravitacional relativa ao ponto mais baixo é
\Delta E_p = m g h = 25{,}0 \times 9{,}8 \times 0{,}5652 \approx 138{,}5\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Pela conservação de energia mecânica (desprezando atrito e resistência do ar), toda essa energia potencial vira energia cinética na parte mais baixa:
\tfrac12 m v^2 = m g h \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 0{,}5652} \approx 3{,}33\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

A tensão na corda é sempre radial, enquanto o deslocamento do centro de massa é tangencial ao arco. Radial é perpendicular a tangencial, então o trabalho da tensão é
W_{\rm tensão} = 0.ã

Resposta

a) 138{,}5\\ \mathrm{J}
b) 3{,}33\\ \mathrm{m/s}
c) 0

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