Resolva a equação diferencial que descreve o movimento de um elétron em um campo elétrico uniforme:
onde
é a carga,
é a massa do elétron, e
é a intensidade do campo elétrico. Considere as condições iniciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma equação diferencial que descreve o movimento de um elétron num campo elétrico uniforme. A matéria envolve mecânica clássica e equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender como integrar equações de segunda ordem e aplicar as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação diferencial:
Essa equação nos diz que a aceleração do elétron é constante, já que o lado direito não depende de $ t $ ou de $ x $.
Passo 3
Como a aceleração é constante, podemos integrar a equação para encontrar a velocidade. A integração da aceleração em relação ao tempo nos dá a velocidade:
Aqui, $ C_1 $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Usamos a condição inicial para a velocidade. Sabemos que $ x’(0) = 0 $, ou seja, a velocidade no tempo $ t = 0 $ é zero:
Então, a expressão para a velocidade fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição $ x(t) $:
Aqui, $ C_2 $ é outra constante de integração que vamos determinar usando outra condição inicial.
Passo 6
Usamos a condição inicial para a posição. Sabemos que $ x(0) = 0 $:
Então, a expressão final para a posição fica:
Resposta
A posição do elétron em função do tempo é: