Resolva a equação diferencial que descreve o movimento de um elétron em um campo elétrico uniforme:
d^2 xd t^2=q Em
onde q é a carga, m é a massa do elétron, e E é a intensidade do campo elétrico. Considere as condições iniciais x(0)=0 e x^prime(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma equação diferencial que descreve o movimento de um elétron num campo elétrico uniforme. A matéria envolve mecânica clássica e equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender como integrar equações de segunda ordem e aplicar as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação diferencial:
d^2 xd t^2 = q Em
Essa equação nos diz que a aceleração do elétron é constante, já que o lado direito não depende de $ t $ ou de $ x $.

Passo 3

Como a aceleração é constante, podemos integrar a equação para encontrar a velocidade. A integração da aceleração em relação ao tempo nos dá a velocidade:
d xd t = integral q Em , dt = q Em t + C1
Aqui, $ C_1 $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Usamos a condição inicial para a velocidade. Sabemos que $ x’(0) = 0 $, ou seja, a velocidade no tempo $ t = 0 $ é zero:
x'(0) = 0
Então, a expressão para a velocidade fica:
t = 0

Passo 5

Agora, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição $ x(t) $:
x(t)
Aqui, $ C_2 $ é outra constante de integração que vamos determinar usando outra condição inicial.

Passo 6

Usamos a condição inicial para a posição. Sabemos que $ x(0) = 0 $:
x(0) = 0
Então, a expressão final para a posição fica:
0 = q Em cdot 0^22 + C2 Rightarrow C2 = 0

Resposta

A posição do elétron em função do tempo é:
x(t) = q E2m t^2

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