Suponha que o movimento de um objeto no espaço está dado por tilder(t)=lang<=cos t, sin t, trang<=. e que a temperatura em um ponto qualquer é dada mediante a função T(x, y, z)= x^2+y^2+z^2-2 x-y
Determine se existe um ponto no percurso no qual a temperatura seja 0 .

Passo 1

O enunciado dá a trajetória do objeto tilde r(t)=lang<=cos t,,sin t,,trang<= e a temperatura T(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2x-y. Precisamos ver se existe t tal que a temperatura ao longo da curva seja zero. Para isso, vamos compor T com tilde r(t) e usar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Compomos a temperatura com a trajetória definindo f(t)=T(cos t,sin t,t). Assim,
f(t)=cos^2t+sin^2t+t^2-2cos t-sin t=1+t^2-2cos t-sin t

Passo 3

A função f(t) é contínua em R. Avaliando em dois pontos:
f(0)=1+0^2-2cdot1-0=-1<0,
f(1)=1+1^2-2cos1-sin1approx2-2cdot0.5403-0.8415approx0.078>0

Passo 4

Como f(0)<0 e f(1)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe t^*in(0,1) tal que f(t^*)=0.
Se quisermos, podemos aproximar numericamente e encontrar t^*approx0.976.

Resposta

Sim. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe t^*in(0,1) (aproximadamente 0.976) tal que a temperatura no ponto tilde r(t^*) é zero.

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