Suponha que um oscilador harmônico simples seja sujeito a uma força externa
Ache a posição e a velocidade desse oscilador. Calcule a energia cinética e a potencial elástica. A energia se conserva? Calcule a frequência de ressonância, se houver.
Passo 1
O enunciado dá uma força externa decaindo exponencialmente
e pede:
- a posição
e a velocidade do oscilador; - a energia cinética e a energia potencial elástica;
- se a energia se conserva;
- a frequência de ressonância, se houver.
Informações relevantes fornecidas:
Nenhuma condição inicial foi dada no enunciado, então vou apresentar a solução geral (com constantes que representam
e
) e a solução particular obtida assumindo que o sistema estava em repouso antes de
. Também vou usar as constantes físicas do oscilador: massa
e constante elástica
. Definirei
Passo 2
Equação do movimento. Para um oscilador harmônico simples sem amortecimento, sujeito à força externa dada, a equação de Newton é
Dividindo por
e usando
obtemos a forma padrão
Passo 3
Estratégia de resolução (o que vou fazer). A solução geral da EDO é soma da solução homogênea
e de uma solução particular
:
Vou:
- resolver a homogênea para obter
; - encontrar
usando o método da função resposta (convolução) — é prático para forçantes do tipo exponencial; - juntar tudo e escrever constantes em termos de condições iniciais
e quando apropriado.
Passo 4
Solução da homogênea. A equação homogênea é
A solução geral é a combinação linear das funções harmônicas:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Obter uma solução particular por meio da função resposta (Green’s function). A resposta ao impulso unitário do oscilador livre (para
) é
A solução particular para uma forçante
é a convolução
Passo 6
Avaliar a integral da convolução passo a passo. Escrevo a integral
Faço a mudança
(ou reorganizo a expressão) para obter
Usamos a integral conhecida (pode-se obter por partes):
Aplicando os limites
a
obtemos
Multiplicando por
e pelo prefator resulta
Passo 7
Simplificar a expressão de
. Colocando em forma mais compacta,
Observação útil:
e
. Isso ocorre porque usamos a convolução iniciando em
(resposta ao forçamento a partir do repouso).
Passo 8
Solução geral com condições iniciais explícitas. A solução completa é
Se as condições iniciais forem
e
, como
e
segue
Portanto a solução com condições iniciais é
Passo 9
Velocidade
. Derivo termo a termo. Para a parte homogênea:
Para
(usar a expressão do Passo 7) a derivada é simples se lembrarmos:
Logo, a contribuição da solução particular é
Somando as partes homogênea e particular:
Passo 10
Energia cinética e potencial elástica. Definições e substituição.
A energia cinética é
A energia cinética é
A energia potencial elástica é
Substitua nas fórmulas acima as expressões de
e
do Passo 8 e do Passo 9 para obter
e
explícitas. Essas expressões ficam longas (envolvem senos, cossenos, expoenciais e produtos), mas são obtidas diretamente ao quadrar
e
e multiplicar pelos fatores indicados.
Passo 11
Conservação de energia. A taxa de variação da energia total
é dada pela potência fornecida pela força externa (não há amortecimento interno), ou seja
Portanto, a energia não é conservada: o termo
representa o trabalho realizado pela força externa por unidade de tempo. Se
então a energia seria conservada; com
a energia total do oscilador varia no tempo conforme o trabalho externo.
Passo 12
Frequência de ressonância. Comentário didático:
- Ressonância, no sentido clássico, aparece quando o sistema é forçado por uma força periódica do tipo
ou ; então a amplitude da resposta no regime estacionário é máxima quando a frequência do forçamento coincide com a frequência natural (no caso sem amortecimento ideal o pico é singular). - Aqui a força é uma exponencial decrescente
, que não é periódica. Logo não há uma “frequência de forçamento” única que gere uma ressonância no sentido usual. O que ocorre é: - a resposta livre do oscilador (após o término da aplicação efetiva do pulso) oscila com a frequência natural
- como a força é transitória, não há um regime estacionário forçado com pico de ressonância. Assim, não existe uma ressonância no sentido clássico para essa forçante exponencial (salvo se se analisar o espectro da exponencial; mas seu espectro não produz um pico em
como um forçamento senoidal faria).
Resumindo: a frequência natural do oscilador é, mas não há ressonância de regime estacionário para .
Resposta
A energia não se conserva;
Não há ressonância de regime estacionário para a forçante