Suponha que um oscilador harmônico simples seja sujeito a uma força externa
F_{e x t}=F_{0} e^{-t / \tau}
Ache a posição e a velocidade desse oscilador. Calcule a energia cinética e a potencial elástica. A energia se conserva? Calcule a frequência de ressonância, se houver.

Passo 1

O enunciado dá uma força externa decaindo exponencialmente
F_{\text{ext}}(t)=F_{0}e^{-t/\tau}
e pede:
  • a posição x(t) e a velocidade v(t)=\dot{x}(t) do oscilador;
  • a energia cinética e a energia potencial elástica;
  • se a energia se conserva;
  • a frequência de ressonância, se houver.
Informações relevantes fornecidas:
F_{\text{ext}}(t)=F_{0}e^{-t/\tau}\quad\text{para }t\ge 0.
Nenhuma condição inicial foi dada no enunciado, então vou apresentar a solução geral (com constantes que representam x(0) e \dot x(0)) e a solução particular obtida assumindo que o sistema estava em repouso antes de t=0. Também vou usar as constantes físicas do oscilador: massa m e constante elástica k. Definirei
\omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}},\qquad \alpha=\dfrac{1}{\tau}.

Passo 2

Equação do movimento. Para um oscilador harmônico simples sem amortecimento, sujeito à força externa dada, a equação de Newton é
m\ddot{x}+k x = F_{0}e^{-\alpha t}.
Dividindo por m e usando \omega_{0}^{2}=k/m obtemos a forma padrão
\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x = \dfrac{F_{0}}{m}e^{-\alpha t}.

Passo 3

Estratégia de resolução (o que vou fazer). A solução geral da EDO é soma da solução homogênea x_{h}(t) e de uma solução particular x_{p}(t):
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t).
Vou:
  1. resolver a homogênea para obter x_{h}(t);
  2. encontrar x_{p}(t) usando o método da função resposta (convolução) — é prático para forçantes do tipo exponencial;
  3. juntar tudo e escrever constantes em termos de condições iniciais x(0) e \dot x(0) quando apropriado.

Passo 4

Solução da homogênea. A equação homogênea é
\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=0.
A solução geral é a combinação linear das funções harmônicas:
x_{h}(t)=C_{1}\cos(\omega_{0}t)+C_{2}\sin(\omega_{0}t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Obter uma solução particular por meio da função resposta (Green’s function). A resposta ao impulso unitário do oscilador livre (para t\ge 0) é
G(t)=\dfrac{1}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t)\quad\text{(para }t\ge 0\text{).}
A solução particular para uma forçante f(t) é a convolução
x_{p}(t)=\dfrac{1}{m}\int_{0}^{t}G(t-s)F_{\text{ext}}(s)\,ds =\dfrac{1}{m}\int_{0}^{t}\dfrac{\sin\big(\omega_{0}(t-s)\big)}{\omega_{0}}\,F_{0}e^{-\alpha s}\,ds.

Passo 6

Avaliar a integral da convolução passo a passo. Escrevo a integral
x_{p}(t)=\dfrac{F_{0}}{m\omega_{0}}\int_{0}^{t}\sin\big(\omega_{0}(t-s)\big)e^{-\alpha s}\,ds.
Faço a mudança u=t-s (ou reorganizo a expressão) para obter
x_{p}(t)=\dfrac{F_{0}}{m\omega_{0}}e^{-\alpha t}\int_{0}^{t}e^{\alpha u}\sin(\omega_{0}u)\,du.
Usamos a integral conhecida (pode-se obter por partes):
\int e^{\alpha u}\sin(\omega_{0}u)\,du = e^{\alpha u}\,\dfrac{\alpha\sin(\omega_{0}u)-\omega_{0}\cos(\omega_{0}u)}{\alpha^{2}+\omega_{0}^{2}} + C.
Aplicando os limites 0 a t obtemos
\int_{0}^{t}e^{\alpha u}\sin(\omega_{0}u)\,du =\dfrac{e^{\alpha t}\big(\alpha\sin(\omega_{0}t)-\omega_{0}\cos(\omega_{0}t)\big)+\omega_{0}}{\alpha^{2}+\omega_{0}^{2}}.
Multiplicando por e^{-\alpha t} e pelo prefator resulta
x_{p}(t)=\dfrac{F_{0}}{m\omega_{0}}\left[ \dfrac{\alpha\sin(\omega_{0}t)-\omega_{0}\cos(\omega_{0}t)}{\alpha^{2}+\omega_{0}^{2}} +\dfrac{\omega_{0}e^{-\alpha t}}{\alpha^{2}+\omega_{0}^{2}} \right].

Passo 7

Simplificar a expressão de x_{p}(t). Colocando em forma mais compacta,
x_{p}(t)=\dfrac{F_{0}}{m(\alpha^{2}+\omega_{0}^{2})}\left( \dfrac{\alpha}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t)-\cos(\omega_{0}t)+e^{-\alpha t} \right).
Observação útil: x_{p}(0)=0 e \dot x_{p}(0)=0. Isso ocorre porque usamos a convolução iniciando em t=0 (resposta ao forçamento a partir do repouso).

Passo 8

Solução geral com condições iniciais explícitas. A solução completa é
x(t)=C_{1}\cos(\omega_{0}t)+C_{2}\sin(\omega_{0}t)+x_{p}(t).
Se as condições iniciais forem x(0)=x_{0} e \dot x(0)=v_{0}, como x_{p}(0)=0 e \dot x_{p}(0)=0 segue
C_{1}=x_{0},\qquad C_{2}=\dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}.
Portanto a solução com condições iniciais é
x(t)=x_{0}\cos(\omega_{0}t)+\dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t) +\dfrac{F_{0}}{m(\alpha^{2}+\omega_{0}^{2})}\left( \dfrac{\alpha}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t)-\cos(\omega_{0}t)+e^{-\alpha t} \right).

Passo 9

Velocidade v(t)=\dot{x}(t). Derivo termo a termo. Para a parte homogênea:
\dot{x}_{h}(t)=-x_{0}\omega_{0}\sin(\omega_{0}t)+v_{0}\cos(\omega_{0}t).
Para x_{p}(t) (usar a expressão do Passo 7) a derivada é simples se lembrarmos:
\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\alpha}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t)\Big)=\alpha\cos(\omega_{0}t), \qquad \dfrac{d}{dt}\big(-\cos(\omega_{0}t)\big)=\omega_{0}\sin(\omega_{0}t), \qquad \dfrac{d}{dt}e^{-\alpha t}=-\alpha e^{-\alpha t}.
Logo, a contribuição da solução particular é
\dot{x}_{p}(t)=\dfrac{F_{0}}{m(\alpha^{2}+\omega_{0}^{2})}\big(\alpha\cos(\omega_{0}t) +\omega_{0}\sin(\omega_{0}t)-\alpha e^{-\alpha t}\big).
Somando as partes homogênea e particular:
v(t)=\dot{x}(t)=-x_{0}\omega_{0}\sin(\omega_{0}t)+v_{0}\cos(\omega_{0}t) +\dfrac{F_{0}}{m(\alpha^{2}+\omega_{0}^{2})}\big(\alpha\cos(\omega_{0}t) +\omega_{0}\sin(\omega_{0}t)-\alpha e^{-\alpha t}\big).

Passo 10

Energia cinética e potencial elástica. Definições e substituição.
A energia cinética é
T(t)=\dfrac{1}{2}m\big(v(t)\big)^{2}.
A energia potencial elástica é
U(t)=\dfrac{1}{2}k\big(x(t)\big)^{2}=\dfrac{1}{2}m\omega_{0}^{2}\big(x(t)\big)^{2}.
Substitua nas fórmulas acima as expressões de x(t) e v(t) do Passo 8 e do Passo 9 para obter T(t) e U(t) explícitas. Essas expressões ficam longas (envolvem senos, cossenos, expoenciais e produtos), mas são obtidas diretamente ao quadrar v(t) e x(t) e multiplicar pelos fatores indicados.

Passo 11

Conservação de energia. A taxa de variação da energia total E(t)=T(t)+U(t) é dada pela potência fornecida pela força externa (não há amortecimento interno), ou seja
\dfrac{dE}{dt}=F_{\text{ext}}(t)\,v(t)=F_{0}e^{-\alpha t}\,v(t).
Portanto, a energia não é conservada: o termo F_{0}e^{-\alpha t}v(t) representa o trabalho realizado pela força externa por unidade de tempo. Se F_{0}=0 então a energia seria conservada; com F_{0}\neq 0 a energia total do oscilador varia no tempo conforme o trabalho externo.

Passo 12

Frequência de ressonância. Comentário didático:
  • Ressonância, no sentido clássico, aparece quando o sistema é forçado por uma força periódica do tipo \cos(\omega t) ou \sin(\omega t); então a amplitude da resposta no regime estacionário é máxima quando a frequência do forçamento \omega coincide com a frequência natural \omega_{0} (no caso sem amortecimento ideal o pico é singular).
  • Aqui a força é uma exponencial decrescente F_{0}e^{-\alpha t}, que não é periódica. Logo não há uma “frequência de forçamento” única que gere uma ressonância no sentido usual. O que ocorre é:
    • a resposta livre do oscilador (após o término da aplicação efetiva do pulso) oscila com a frequência natural
    \omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
    • como a força é transitória, não há um regime estacionário forçado com pico de ressonância. Assim, não existe uma ressonância no sentido clássico para essa forçante exponencial (salvo se se analisar o espectro da exponencial; mas seu espectro não produz um pico em \omega_{0} como um forçamento senoidal faria).
      Resumindo: a frequência natural do oscilador é \omega_{0}, mas não há ressonância de regime estacionário para F_{\text{ext}}(t)=F_{0}e^{-t/\tau}.

Resposta

x(t)=x_{0}\cos(\omega_{0}t)+\dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t) +\dfrac{F_{0}}{m(\alpha^{2}+\omega_{0}^{2})}\left( \dfrac{\alpha}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t)-\cos(\omega_{0}t)+e^{-\alpha t} \right), com \alpha=1/\tau e \omega_{0}=\sqrt{k/m}.\n
v(t)=-x_{0}\omega_{0}\sin(\omega_{0}t)+v_{0}\cos(\omega_{0}t) +\dfrac{F_{0}}{m(\alpha^{2}+\omega_{0}^{2})}\big(\alpha\cos(\omega_{0}t) +\omega_{0}\sin(\omega_{0}t)-\alpha e^{-\alpha t}\big).\n
T(t)=\dfrac{1}{2}m\big(v(t)\big)^{2}.\n
U(t)=\dfrac{1}{2}k\big(x(t)\big)^{2}=\dfrac{1}{2}m\omega_{0}^{2}\big(x(t)\big)^{2}.\n
A energia não se conserva; \dfrac{d}{dt}\big(T+U\big)=F_{0}e^{-\alpha t}v(t) (trabalho da força externa). \n
Não há ressonância de regime estacionário para a forçante F_{0}e^{-t/\tau}; a frequência natural do oscilador é \omega_{0}=\sqrt{k/m}.

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