Suponha que P é uma matriz n \times n, satisfazendo P^{2}=P.
(a) Encontre todos os valores possíveis para o \operatorname{det}(P).
(b) Se P é inversível, mostre que P=I_{n}.

Passo 1

O enunciado diz que P é uma matriz n\times n satisfazendo
P^2 = P.
Isso caracteriza uma matriz idempotente. O que se pede:
(a) todos os valores possíveis de \det(P);
(b) se P é invertível, provar que P = I_n.

Passo 2

Vamos usar a propriedade dos autovalores de uma matriz idempotente. Se v\neq0 é autovetor de P com autovalor \lambda, então
P^2 v = P v \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2 v = \lambda v \quad\Longrightarrow\quad \bigl(\lambda^2 - \lambda\bigr)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda(\lambda - 1)=0.
Logo, todos os autovalores de P são \lambda=0 ou \lambda=1.

Passo 3

Como \det(P) é o produto de todos os autovalores (contando multiplicidade), os únicos valores possíveis são
\det(P)=0^k\cdot1^{\,n-k}\;=\;0 \quad\text{ou}\quad \det(P)=1.

Passo 4

Se P é invertível, então \det(P)\neq0, daí necessariamente \det(P)=1 e não há autovalor zero. Mas mais direto: multiplique a identidade P^2=P por P^{-1} (à esquerda ou à direita), obtém-se
P = I_n.

Resposta

(a) \det(P)\in\{0,1\}.
(b) Se P é invertível, então P=I_n.

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