Para cada uma das matrizes abaixo encontre todos os valores de \lambda \in \mathbb{R} tais que \operatorname{det}(A-\lambda I)=0.
(c) A=\left[ \begin{array}{rr}5 & 7 \\ -2 & -4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de \lambda\in\mathbb{R} tais que \det(A-\lambda I)=0 para
A = \begin{pmatrix}5 & 7 \\\\ -2 & -4\end{pmatrix}.
Isso equivale a achar os autovalores de A resolvendo o polinômio característico.

Passo 2

Formamos a matriz A - \lambda I subtraindo \lambda da diagonal de A e escrevemos seu determinante:
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 5 - \lambda & 7 \\[6pt] -2 & -4 - \lambda \end{pmatrix}
\det(A - \lambda I) = (5 - \lambda)(-4 - \lambda) \;-\; \bigl(7 \cdot (-2)\bigr).]

Passo 3

Expandimos e simplificamos o determinante para obter o polinômio característico:
(5 - \lambda)(-4 - \lambda) - (7 \cdot -2) = -20 -5\lambda +4\lambda +\lambda^2 +14 = \lambda^2 - \lambda - 6.
Portanto,
\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - \lambda - 6.

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática \lambda^2 - \lambda - 6 = 0 pela fórmula de Bhaskara:
\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}.
Assim obtemos \lambda_1 = 3 e \lambda_2 = -2.

Resposta

\lambda = 3 e \lambda = -2

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