Suponha que
é uma matriz
, satisfazendo
.
(a) Encontre todos os valores possíveis para o
.
(b) Se
é inversível, mostre que
.
(a) Encontre todos os valores possíveis para o
(b) Se
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
satisfazendo
Isso caracteriza uma matriz idempotente. O que se pede:
(a) todos os valores possíveis de ;
(b) se é invertível, provar que
.
(a) todos os valores possíveis de
(b) se
Passo 2
Vamos usar a propriedade dos autovalores de uma matriz idempotente. Se
é autovetor de
com autovalor
, então
Logo, todos os autovalores de
são
ou
.
Passo 3
Como
é o produto de todos os autovalores (contando multiplicidade), os únicos valores possíveis são
Passo 4
Se
é invertível, então
, daí necessariamente
e não há autovalor zero. Mas mais direto: multiplique a identidade
por
(à esquerda ou à direita), obtém-se
Resposta
(a)
.
(b) Se é invertível, então
.
(b) Se