Suponha que p seja uma sentença falsa, que q seja verdadeira, que r seja falsa e que s seja verdadeira. Quais das seguintes sentenças são verdadeiras e quais são falsas?
(e) [(q \rightarrow s) \leftrightarrow s] \wedge \sim p

Passo 1

O enunciado dá os valores de verdade das sentenças atômicas e pede para avaliar a sentença (e). Dados:
  • p é falsa.
  • q é verdadeira.
  • r é falsa. (não é usado em (e), mas está informado)
  • s é verdadeira.
A pergunta: determinar se a sentença
[(q \rightarrow s) \leftrightarrow s] \wedge \sim p
é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Vamos recordar o significado dos conectivos lógicos que aparecem, de forma direta e prática (para usar na prova sem erro):
  • Negação: \sim A é verdadeira quando A é falsa, e falsa quando A é verdadeira. Ou seja, nega o valor de A.
  • Implicação: A \rightarrow B é falsa somente no caso em que A é verdadeira e B é falsa; em todos os outros casos é verdadeira. Uma maneira rápida de lembrar: se o antecedente não acontece, a implicação não pode ser refutada.
  • Bicondicional: A \leftrightarrow B é verdadeira quando A e B têm o mesmo valor de verdade (ambos verdadeiros ou ambos falsos); é falsa quando têm valores diferentes.
  • Conjunção: A \wedge B é verdadeira somente quando A é verdadeira e B é verdadeira; caso contrário é falsa.
Estratégia prática: avaliar de dentro para fora — primeiro os parênteses internos, depois combinar os resultados.

Passo 3

Calcular o termo interno (q \rightarrow s).
  • Sabemos que q é verdadeira e s é verdadeira.
  • Pela definição de implicação, quando o antecedente e o consequente são verdadeiros, a implicação é verdadeira.
    Portanto
(q \rightarrow s)\\ \text{é verdadeira.}é

Passo 4

Calcular o bicondicional (q \rightarrow s) \leftrightarrow s.
  • Do passo anterior temos (q \rightarrow s) verdadeira.
  • Sabemos também que s é verdadeira (dado).
  • Bicondicional é verdadeira quando os dois lados têm o mesmo valor; aqui ambos são verdadeiros.
    Portanto
(q \rightarrow s) \leftrightarrow s\\ \text{é verdadeira.}é

Passo 5

Calcular a negação \sim p.
  • Dado que p é falsa, a negação \sim p é verdadeira (negação inverte o valor).
    Portanto
\sim p\\ \text{é verdadeira.}é

Passo 6

Calcular a conjunção final [(q \rightarrow s) \leftrightarrow s] \wedge \sim p.
  • Pelo passo 4, (q \rightarrow s) \leftrightarrow s é verdadeira.
  • Pelo passo 5, \sim p é verdadeira.
  • Conjunção é verdadeira somente se ambos os conjunctos são verdadeiros; aqui ambos são verdadeiros.
    Portanto a sentença inteira
[(q \rightarrow s) \leftrightarrow s] \wedge \sim p
é verdadeira.

Resposta

Verdadeira

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