Suponha uma paratícula
em movimento e dois referenciais,
e
. Mostre que
a)
em que
é a posição da partícula
em
relação ao referencial
e
é a posição do referencial
em relação ao referencial
.
b) Derive a equação acima em relação ao tempo para obter
em que
é a velocidade da partícula
em relação ao referencial
e
é a velocidade do referencial
em relação ao referencial
.
c) Derive essa última equação em relação ao tempo para constatar que
em que
é a aceleração da partícula
em relação ao referencial
e
é a aceleração do referencial
em relação ao referencial
.
a)
relação ao referencial
b) Derive a equação acima em relação ao tempo para obter
c) Derive essa última equação em relação ao tempo para constatar que
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras e relacionadas entre si:
- Mostrar a relação entre as posições medidas em dois referenciais distintos, ou seja provar
- Derivar essa relação em relação ao tempo para obter a relação entre velocidades:
- Derivar a relação de velocidades em relação ao tempo para obter a relação entre acelerações:
Informações e definições dadas (vou escrevê-las explicitamente para não ficar nenhuma dúvida):
-
é o vetor posição da partícula relativo ao referencial (ou seja, o vetor do ponto origem de até ). -
é o vetor posição de relativo ao referencial (vetor do ponto origem de até ). -
é o vetor posição do referencial em relação ao referencial (vetor do ponto origem de até o ponto origem de ). - Para as derivações de tempo, define-se
, , e análogamente para acelerações . - Observação importante (assunção do enunciado implícita): os dois referenciais
e têm eixos paralelos e as mesmas direções de base (isto é, não há rotação relativa entre eles). Essa suposição é necessária para que a derivada temporal de um vetor escrita em termos dessas bases possa ser feita simplesmente derivando as componentes. Se houvesse rotação relativa, apareceria um termo adicional (relacionado à rotação) — mas aqui o enunciado pede as somas diretas, então vamos assumir eixos paralelos/mesmas bases.
A partir daqui eu vou demonstrar cada item passo a passo, explicando a intuição geométrica e a forma algébrica.
Passo 2
Demonstração geométrica da igualdade das posições.
Pensa em três pontos no espaço: a origem do referencial
(vou chamar de
), a origem do referencial
(chamo de
) e a partícula
. Os vetores são:
-
é o vetor do ponto até . -
é o vetor do ponto até . -
é o vetor do ponto até .
Geometricamente, se eu for do ponto
até
seguindo um caminho “em dois pedaços”: primeiro vou de
até
(isso é
) e depois vou de
até
(isso é
). Somando vetorialmente esses dois deslocamentos obtenho o deslocamento total de
até
. Em linguagem vetorial:
Como a adição vetorial é comutativa, isso é equivalente à forma pedida no enunciado
Essa é a prova geométrica e é a razão pela qual a relação é tão natural: vetores posicionais concatenam-se cabeça-para-cauda.
Passo 3
Escrevendo a relação de posições em componentes (para ver por que podemos derivar componente a componente).
Suponha que tenhamos um sistema de eixos cartesianas fixo em
cujas direções de base são
. Como assumimos eixos paralelos, as mesmas bases servem para
. Então escrevemos as posições em componentes:
A igualdade vetorial do passo anterior se torna, em componentes,
o que implica componente a componente
Essa forma componente-dependente é útil porque derivadas de vetores podem ser vistas como derivadas de suas componentes quando as bases são fixas no tempo (nossa assunção).
Passo 4
Derivando a relação de posições em relação ao tempo para obter velocidades (justificativa passo a passo).
Definimos velocidade relativa como derivada temporal do vetor posição relativo ao referencial. Para cada vetor:
Como vimos no passo anterior, para cada componente
vale
Derivando essa igualdade componente a componente (regra básica de derivação: a derivada da soma é a soma das derivadas) obtemos
Multiplicando por
e somando em
devolvemos a forma vetorial:
Pela definição de velocidades, isto é exatamente
Explicação física intuitiva: a velocidade medida por
é a velocidade de
medida por
somada à velocidade de
medida por
. Exemplo numérico simples: se
se move para a direita a
e
se move para a direita em relação a
a
, então em relação a
tem velocidade
.
Passo 5
Comentário sobre a derivada de vetores quando as bases mudam (para você não se assustar na prova).
No cálculo acima usei que
são constantes no tempo (bases fixas). Se os referenciais
e
tivessem rotação relativa, as
associadas a
dependeriam do tempo e, ao derivar, surgiriam termos extras do tipo
que levam a termos adicionais (por exemplo termos de Coriolis). Como o enunciado pediu a soma direta das velocidades e acelerações sem termos extras, mantemos a hipótese de eixos paralelos/mesmas bases; essa é a hipótese típica nesses exercícios iniciais.
Passo 6
Derivando a relação de velocidades para obter as acelerações.
Agora definimos acelerações como derivada temporal das velocidades:
Começamos da igualdade provada no passo 4:
Derivando em relação ao tempo, novamente usando que as bases são constantes e que a derivada da soma é a soma das derivadas, obtemos
Pelo significado das derivadas, isto é
Interpretação física: a aceleração medida por
é a soma da aceleração de
medida por
mais a aceleração do referencial
medida por
. Exemplo rápido: se
acelera para a direita com
e
acelera para a direita em relação a
com
, então em relação a
a aceleração de
é
.
Passo 7
Resumo didático-final (para você decorar a técnica e aplicar em prova):
- A prova da relação de posições é geométrica (concatenar vetores cabeça-para-cauda).
- Para obter velocidade, basta derivar componente a componente, desde que as bases sejam constantes no tempo.
- Para obter aceleração, deriva-se novamente do mesmo modo.
- Se os referenciais rotacionarem um em relação ao outro, aparecem termos extras — mas nesse exercício estamos no caso simples de eixos paralelos.