Suponha uma paratícula P em movimento e dois referenciais, A e B. Mostre que
a)
\vec{r}_{P A}=\vec{r}_{P B}+\vec{r}_{B A},
em que \vec{r}_{P A}\left(\vec{r}_{P B}\right) é a posição da partícula P em
relação ao referencial A(B) e \vec{v}_{B A} é a posição do referencial B em relação ao referencial A.
b) Derive a equação acima em relação ao tempo para obter
\vec{v}_{P A}=\vec{v}_{P B}+\vec{v}_{B A},
em que \vec{v}_{P A}\left(\vec{v}_{P B}\right) é a velocidade da partícula P em relação ao referencial A(B) e \vec{v}_{B A} é a velocidade do referencial B em relação ao referencial A.
c) Derive essa última equação em relação ao tempo para constatar que
\vec{a}_{P A}=\vec{a}_{P B}+\vec{a}_{B A},
em que \vec{a}_{P A}\left(\vec{a}_{P B}\right) é a aceleração da partícula P em relação ao referencial A(B) e \vec{a}_{B A} é a aceleração do referencial B em relação ao referencial A.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras e relacionadas entre si:
  1. Mostrar a relação entre as posições medidas em dois referenciais distintos, ou seja provar
\vec{r}_{P A}=\vec{r}_{P B}+\vec{r}_{B A}.
  1. Derivar essa relação em relação ao tempo para obter a relação entre velocidades:
\vec{v}_{P A}=\vec{v}_{P B}+\vec{v}_{B A}.
  1. Derivar a relação de velocidades em relação ao tempo para obter a relação entre acelerações:
\vec{a}_{P A}=\vec{a}_{P B}+\vec{a}_{B A}.
Informações e definições dadas (vou escrevê-las explicitamente para não ficar nenhuma dúvida):
  • \vec{r}_{P A} é o vetor posição da partícula P relativo ao referencial A (ou seja, o vetor do ponto origem de A até P).
  • \vec{r}_{P B} é o vetor posição de P relativo ao referencial B (vetor do ponto origem de B até P).
  • \vec{r}_{B A} é o vetor posição do referencial B em relação ao referencial A (vetor do ponto origem de A até o ponto origem de B).
  • Para as derivações de tempo, define-se \vec{v}_{P A}=\dfrac{d}{dt}\vec{r}_{P A}, \vec{v}_{P B}=\dfrac{d}{dt}\vec{r}_{P B}, \vec{v}_{B A}=\dfrac{d}{dt}\vec{r}_{B A} e análogamente para acelerações \vec{a}=\dfrac{d}{dt}\vec{v}.
  • Observação importante (assunção do enunciado implícita): os dois referenciais A e B têm eixos paralelos e as mesmas direções de base (isto é, não há rotação relativa entre eles). Essa suposição é necessária para que a derivada temporal de um vetor escrita em termos dessas bases possa ser feita simplesmente derivando as componentes. Se houvesse rotação relativa, apareceria um termo adicional (relacionado à rotação) — mas aqui o enunciado pede as somas diretas, então vamos assumir eixos paralelos/mesmas bases.
A partir daqui eu vou demonstrar cada item passo a passo, explicando a intuição geométrica e a forma algébrica.

Passo 2

Demonstração geométrica da igualdade das posições.
Pensa em três pontos no espaço: a origem do referencial A (vou chamar de O_A), a origem do referencial B (chamo de O_B) e a partícula P. Os vetores são:
  • \vec{r}_{P A} é o vetor do ponto O_A até P.
  • \vec{r}_{B A} é o vetor do ponto O_A até O_B.
  • \vec{r}_{P B} é o vetor do ponto O_B até P.
Geometricamente, se eu for do ponto O_A até P seguindo um caminho “em dois pedaços”: primeiro vou de O_A até O_B (isso é \vec{r}_{B A}) e depois vou de O_B até P (isso é \vec{r}_{P B}). Somando vetorialmente esses dois deslocamentos obtenho o deslocamento total de O_A até P. Em linguagem vetorial:
\vec{r}_{P A}=\vec{r}_{B A}+\vec{r}_{P B}.
Como a adição vetorial é comutativa, isso é equivalente à forma pedida no enunciado
\vec{r}_{P A}=\vec{r}_{P B}+\vec{r}_{B A}.
Essa é a prova geométrica e é a razão pela qual a relação é tão natural: vetores posicionais concatenam-se cabeça-para-cauda.

Passo 3

Escrevendo a relação de posições em componentes (para ver por que podemos derivar componente a componente).
Suponha que tenhamos um sistema de eixos cartesianas fixo em A cujas direções de base são \{\hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3\}. Como assumimos eixos paralelos, as mesmas bases servem para B. Então escrevemos as posições em componentes:
\vec{r}_{P A}(t)=\sum_{i=1}^{3} x_{P A,i}(t)\,\hat{e}_i,
\vec{r}_{P B}(t)=\sum_{i=1}^{3} x_{P B,i}(t)\,\hat{e}_i,
\vec{r}_{B A}(t)=\sum_{i=1}^{3} x_{B A,i}(t)\,\hat{e}_i.
A igualdade vetorial do passo anterior se torna, em componentes,
\sum_{i=1}^{3} x_{P A,i}(t)\,\hat{e}_i=\sum_{i=1}^{3} x_{P B,i}(t)\,\hat{e}_i+\sum_{i=1}^{3} x_{B A,i}(t)\,\hat{e}_i,
o que implica componente a componente
x_{P A,i}(t)=x_{P B,i}(t)+x_{B A,i}(t),\qquad i=1,2,3.
Essa forma componente-dependente é útil porque derivadas de vetores podem ser vistas como derivadas de suas componentes quando as bases são fixas no tempo (nossa assunção).

Passo 4

Derivando a relação de posições em relação ao tempo para obter velocidades (justificativa passo a passo).
Definimos velocidade relativa como derivada temporal do vetor posição relativo ao referencial. Para cada vetor:
\vec{v}_{P A}(t)=\frac{d}{dt}\vec{r}_{P A}(t),\qquad \vec{v}_{P B}(t)=\frac{d}{dt}\vec{r}_{P B}(t),\qquad \vec{v}_{B A}(t)=\frac{d}{dt}\vec{r}_{B A}(t).
Como vimos no passo anterior, para cada componente i vale
x_{P A,i}(t)=x_{P B,i}(t)+x_{B A,i}(t).
Derivando essa igualdade componente a componente (regra básica de derivação: a derivada da soma é a soma das derivadas) obtemos
\frac{d}{dt}x_{P A,i}(t)=\frac{d}{dt}x_{P B,i}(t)+\frac{d}{dt}x_{B A,i}(t).
Multiplicando por \hat{e}_i e somando em i devolvemos a forma vetorial:
\frac{d}{dt}\vec{r}_{P A}(t)=\frac{d}{dt}\vec{r}_{P B}(t)+\frac{d}{dt}\vec{r}_{B A}(t).
Pela definição de velocidades, isto é exatamente
\vec{v}_{P A}=\vec{v}_{P B}+\vec{v}_{B A}.
Explicação física intuitiva: a velocidade medida por A é a velocidade de P medida por B somada à velocidade de B medida por A. Exemplo numérico simples: se B se move para a direita a 2\\ \mathrm{m/s} e P se move para a direita em relação a B a 1\\ \mathrm{m/s}, então em relação a A P tem velocidade 3\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Comentário sobre a derivada de vetores quando as bases mudam (para você não se assustar na prova).
No cálculo acima usei que \hat{e}_i são constantes no tempo (bases fixas). Se os referenciais A e B tivessem rotação relativa, as \hat{e}_i associadas a B dependeriam do tempo e, ao derivar, surgiriam termos extras do tipo \dot{\hat{e}}_i que levam a termos adicionais (por exemplo termos de Coriolis). Como o enunciado pediu a soma direta das velocidades e acelerações sem termos extras, mantemos a hipótese de eixos paralelos/mesmas bases; essa é a hipótese típica nesses exercícios iniciais.

Passo 6

Derivando a relação de velocidades para obter as acelerações.
Agora definimos acelerações como derivada temporal das velocidades:
\vec{a}_{P A}=\frac{d}{dt}\vec{v}_{P A},\qquad \vec{a}_{P B}=\frac{d}{dt}\vec{v}_{P B},\qquad \vec{a}_{B A}=\frac{d}{dt}\vec{v}_{B A}.
Começamos da igualdade provada no passo 4:
\vec{v}_{P A}(t)=\vec{v}_{P B}(t)+\vec{v}_{B A}(t).
Derivando em relação ao tempo, novamente usando que as bases são constantes e que a derivada da soma é a soma das derivadas, obtemos
\frac{d}{dt}\vec{v}_{P A}(t)=\frac{d}{dt}\vec{v}_{P B}(t)+\frac{d}{dt}\vec{v}_{B A}(t).
Pelo significado das derivadas, isto é
\vec{a}_{P A}=\vec{a}_{P B}+\vec{a}_{B A}.
Interpretação física: a aceleração medida por A é a soma da aceleração de P medida por B mais a aceleração do referencial B medida por A. Exemplo rápido: se B acelera para a direita com 1\\ \mathrm{m/s^2} e P acelera para a direita em relação a B com 2\\ \mathrm{m/s^2}, então em relação a A a aceleração de P é 3\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 7

Resumo didático-final (para você decorar a técnica e aplicar em prova):
  • A prova da relação de posições é geométrica (concatenar vetores cabeça-para-cauda).
  • Para obter velocidade, basta derivar componente a componente, desde que as bases sejam constantes no tempo.
  • Para obter aceleração, deriva-se novamente do mesmo modo.
  • Se os referenciais rotacionarem um em relação ao outro, aparecem termos extras — mas nesse exercício estamos no caso simples de eixos paralelos.

Resposta

\vec{r}_{P A}=\vec{r}_{P B}+\vec{r}_{B A}
\vec{v}_{P A}=\vec{v}_{P B}+\vec{v}_{B A}
\vec{a}_{P A}=\vec{a}_{P B}+\vec{a}_{B A}

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