Suponha o lançamento oblíquo de uma partícula na superfície da Terra. O ângulo de lançamento em relação á horizontal é
. Além disso, módulo da velocidade de lançamento é
.
a) Exponha razões para que o movimento da partícula seja descrito por
e
b) Use essas duas equações para obter
c) Certifique-se de que
d) Escolha a origem do sistema de coordenadas tal que
e empregue as equações (24) e (25) para verificar que
e) Empregue
com
dado pela equação
(26) para obter
em que
representa o valor de
que corresponde ao máximo de
.
f) A seguir, use esse resultado para concluir que o alcance
do projétil em um plano horizontal é
a) Exponha razões para que o movimento da partícula seja descrito por
(26) para obter
f) A seguir, use esse resultado para concluir que o alcance
Passo 1
O enunciado dá um lançamento oblíquo na superfície da Terra com ângulo de lançamento
e velocidade inicial de módulo
. As perguntas são:
a) Justificar por que as leis do movimento podem ser escritas como
a) Justificar por que as leis do movimento podem ser escritas como
e
b) Usar essas duas equações para obter
c) Mostrar que
d) Com
obter
e) Usar
para encontrar
, o
do máximo de
, e obter
f) Mostrar que o alcance
sobre um plano horizontal é
Informações dadas e hipóteses implícitas que usaremos: a aceleração da gravidade é
dirigida para baixo (vertical), desprezamos resistência do ar e consideramos plano cartesiano com eixos horizontal
e vertical
. Não resolvemos nada neste passo, só identifiquei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Por que as equações do enunciado (parte a) fazem sentido — ideia física e dedução por integração:
- Primeiro observação simples e importante: na direção horizontal não há força (se desprezarmos resistência do ar). Pela segunda lei de Newton, isso implica aceleração horizontal nula. Em símbolos, a aceleração horizontal é
. - Na direção vertical a única aceleração importante é a gravidade, para baixo, de módulo
. Tomando para cima o sentido positivo, a aceleração vertical é .
Agora convertamos acelerações em velocidades e posições por integração (passo a passo, sem pular).
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é,
e . - Como
, temos . Integrando em obtemos que é constante:
onde
é a componente horizontal da velocidade no instante inicial
.
- A velocidade é a derivada da posição:
. Como é constante, integraremos . Integrando de a (ou usando primitiva), obtemos
onde
é a posição horizontal inicial no instante
. Isso justifica a primeira equação pedida.
- Na vertical,
nos dá . Integrando em temos
onde
é a componente vertical da velocidade em
.
- Integrando
para obter a posição vertical:
onde
é a posição vertical inicial em
. Isso justifica a segunda equação pedida. Aqui explicitei cada passo de integração e o significado de cada constante de integração (
).
Passo 3
Derivar a fórmula
pedida na parte (b) eliminando o tempo
:
- Da equação horizontal
isolamos o tempo:
Isso faz sentido porque
é constante e relaciona deslocamento horizontal com tempo.
- Substituímos esse
na expressão de :
- Simplificando os termos obtemos exatamente
Essa é a equação da trajetória na forma
em função de
, que mostra que a trajetória é uma parábola (termo em
).
Passo 4
Mostrar as expressões das componentes iniciais (parte c). Motivação e geometricamente por triângulo:
- A velocidade inicial
tem módulo e forma com a horizontal o ângulo . Se você desenhar um triângulo retângulo onde a hipotenusa é , o cateto adjacente à é a componente horizontal e o cateto oposto é a componente vertical . - Pela definição de cosseno e seno num triângulo retângulo:
- Outra forma de ver é pela relação de magnitude da velocidade:
e projetando em cada eixo obtemos as identidades acima. Assim a parte (c) está demonstrada.
Passo 5
Escolher
e obter a forma (parte d):
- Começamos da equação já obtida em (b):
- Tomando
e , isso simplifica para
- Substituímos agora
e (obtidos no passo anterior). O quociente é
- E o denominador
é . Assim obtemos
que é exatamente a equação (26) pedida.
Passo 6
Encontrar o
do máximo
(parte e) usando derivada
:
- A função
da parte (d) é uma parábola. Para achar o máximo (vértice) podemos derivar em relação a e igualar a zero:
- Derivando termo a termo (recorde: derivada de
é e derivada de é ):
- Simplificando:
- Igualando a zero para obter o ponto crítico:
- Isolando
:
- Usando
e simplificando o :
- Agora usar a identidade trigonométrica
. Assim
Isso dá exatamente o resultado pedido para
.
Passo 7
Obter o alcance
(parte f) e explicar por que
:
- Para um lançamento e aterrissagem em mesma altura inicial (
), a trajetória é simétrica: o ponto de maior altura (vértice) ocorre no tempo médio entre partida e chegada. Em termos de , isso significa que a abscissa do vértice é exatamente a metade do alcance total . Logo . - Substituindo o valor de
obtido:
- Comentário físico rápido: essa fórmula mostra que o alcance é proporcional a
e depende de através de . O ângulo que maximiza o alcance no caso sem resistência do ar é porque alcança 1 quando .
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)