Suponha um movimento circular uniforme de raio R e período T em um plano.
a) Argumente que esse movimento pode ser representado por
\vec{r}(t)=R \cos (\omega t) \hat{\mathbf{i}}+R \operatorname{sen}(\omega t) \hat{\mathbf{j}}
com \omega=2 \pi / T. A seguir, use a equação (29) para verificar que |\vec{r}(t)|=R.
b) Mostre que
\vec{v}(t)=-\omega R \operatorname{sen}(\omega t) \hat{\mathbf{i}}+\omega R \cos (\omega t) \hat{\mathbf{j}} .
Parta da equação (30) para concluir que |\vec{v}(t)|=\omega R, isto é,
v=\omega R=\frac{2 \pi R}{T} .
c) Constate que
\vec{a}(t)=-\omega^{2} R \cos (\omega t) \hat{\mathbf{i}}-\omega^{2} R \operatorname{sen}(\omega t) \hat{\mathbf{j}}=-\omega^{2} \vec{r}(t) .
Certifique que |\vec{a}(t)|=\omega^{2} R. Por fim, empregue os resultados acima para obter a relação entre o módulo da aceleração centrípeta em função do módulo da velocidade e do raio da trajetória:
a=\frac{v^{2}}{R} .

Passo 1

O enunciado dá um movimento circular uniforme de raio R e período T num plano e faz três pedidos principais:
  1. Mostrar que o movimento pode ser representado por
\vec{r}(t)=R \cos (\omega t) \hat{\mathbf{i}}+R \operatorname{sen}(\omega t) \hat{\mathbf{j}}
com \omega=\dfrac{2\pi}{T}, e usar a equação (29) para verificar que |\vec{r}(t)|=R.
  1. Mostrar que
\vec{v}(t)=-\omega R \operatorname{sen}(\omega t) \hat{\mathbf{i}}+\omega R \cos (\omega t) \hat{\mathbf{j}},
partindo da equação (30), e concluir que |\vec{v}(t)|=\omega R=\dfrac{2\pi R}{T}.
  1. Mostrar que
\vec{a}(t)=-\omega^{2} R \cos (\omega t) \hat{\mathbf{i}}-\omega^{2} R \operatorname{sen}(\omega t) \hat{\mathbf{j}}=-\omega^{2} \vec{r}(t),
verificar que |\vec{a}(t)|=\omega^{2}R e, finalmente, usar os resultados para obter
a=\frac{v^{2}}{R}.
Informações dadas que usaremos: o raio R, o período T, e as equações (29) e (30) do enunciado (que correspondem a fórmulas padrão: norma de vetor e derivada vetorial). Não começo a resolver aqui; apenas identifiquei os pedidos e os dados.

Passo 2

Por que a parametrização com cosseno e seno é natural? Vou explicar devagarinho.
  • Num movimento circular uniforme, a partícula descreve um círculo de raio R com velocidade angular constante. Isso significa que o ângulo polar \theta (o ângulo que a posição do ponto faz com o eixo x) cresce linearmente com o tempo: \theta(t)=\omega t+\theta_0. Aqui \omega é a velocidade angular (medida em rad/s) e \theta_0 é o ângulo inicial.
  • Como o movimento é uniforme, em um período T o ângulo aumenta exatamente 2\pi radianos: \theta(t+T)-\theta(t)=2\pi. Isso implica \omega T=2\pi e, portanto,
\omega=\frac{2\pi}{T}.
  • Escolhendo, sem perda de generalidade, o instante inicial t=0 com \theta_0=0 (ou seja, partimos do ponto (R,0)), temos \theta(t)=\omega t.
  • Em coordenadas cartesianas, um ponto de coordenada polar (R,\theta) tem componentes x=R\cos\theta e y=R\operatorname{sen}\theta. Substituindo \theta=\omega t obtemos
\vec{r}(t)=R\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+R\operatorname{sen}(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}.
Isto responde a primeira parte: a forma apresentada é exatamente a parametrização padrão de um ponto que descreve um círculo de raio R com velocidade angular \omega.

Passo 3

Agora usamos a equação (29). A equação (29) é a fórmula padrão da norma de um vetor posição em coordenadas cartesianas:
|\vec{r}(t)|=\sqrt{x(t)^{2}+y(t)^{2}}.
Aqui x(t)=R\cos(\omega t) e y(t)=R\operatorname{sen}(\omega t). Substituo na fórmula:
Calcule x(t)^2+y(t)^2:
x(t)^2+y(t)^2 = \bigl(R\cos(\omega t)\bigr)^2 + \bigl(R\operatorname{sen}(\omega t)\bigr)^2.
Factorizo R^2:
x(t)^2+y(t)^2 = R^2\bigl(\cos^2(\omega t)+\operatorname{sen}^2(\omega t)\bigr).
Uso a identidade trigonométrica fundamental \cos^2\varphi+\operatorname{sen}^2\varphi=1 (para qualquer \varphi), então
x(t)^2+y(t)^2 = R^2\cdot 1 = R^2.
Logo
|\vec{r}(t)|=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}=\sqrt{R^2}=R.
Assim verifiquei explicitamente que a distância ao centro é sempre R, como deveria ocorrer num movimento circular.

Passo 4

Passando para a velocidade: a equação (30) do enunciado corresponde à definição usual de velocidade como derivada temporal do vetor posição:
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.
Vou derivar componente a componente. Temos
\vec{r}(t)=R\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+R\operatorname{sen}(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}.
Para derivar funções compostas do tipo f(\omega t) uso a regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}f(\omega t)=f'(\omega t)\cdot \omega. Também lembro as derivadas básicas: \dfrac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\sin(\omega t)\cdot\omega e \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen}(\omega t)=\cos(\omega t)\cdot\omega.
Aplicando isso:
  • Derivada da componente x(t)=R\cos(\omega t):
\frac{d}{dt}x(t)=R\cdot\bigl(-\sin(\omega t)\bigr)\cdot\omega = -\omega R \operatorname{sen}(\omega t).
  • Derivada da componente y(t)=R\operatorname{sen}(\omega t):
\frac{d}{dt}y(t)=R\cdot\cos(\omega t)\cdot\omega = \omega R \cos(\omega t).
Portanto a velocidade vetorial é
\vec{v}(t)=-\omega R \operatorname{sen}(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+\omega R \cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}},
que é exatamente o que se pedia. (Observe: cada componente é uma função do tempo; o fator \omega R tem dimensão de velocidade.)

Passo 5

Agora verifico o módulo de \vec{v}(t). Uso novamente a definição da norma:
|\vec{v}(t)|=\sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2},
com v_x(t)=-\omega R \operatorname{sen}(\omega t) e v_y(t)=\omega R \cos(\omega t). Calculo:
v_x(t)^2+v_y(t)^2 = (\omega R)^2\bigl(\operatorname{sen}^2(\omega t)+\cos^2(\omega t)\bigr).
De novo uso \operatorname{sen}^2+\cos^2=1, então
v_x(t)^2+v_y(t)^2 = (\omega R)^2.
Logo
|\vec{v}(t)|=\sqrt{(\omega R)^2}=\omega R.
Substituindo \omega=\dfrac{2\pi}{T} obtenho a forma com o período:
v=\omega R=\frac{2\pi R}{T}.
Isto mostra que a rapidez (módulo da velocidade) é constante no movimento circular uniforme e igual a \omega R.

Passo 6

Agora passo para a aceleração: por definição \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}. Vou derivar as componentes de \vec{v}(t) encontradas no passo anterior.
Temos
\vec{v}(t)=-\omega R \operatorname{sen}(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+\omega R \cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}.
Derivando componente a componente (novamente usando a regra da cadeia):
  • Derivada de v_x(t)=-\omega R \operatorname{sen}(\omega t):
\frac{d}{dt}v_x(t) = -\omega R \cdot \cos(\omega t)\cdot \omega = -\omega^{2} R \cos(\omega t).
  • Derivada de v_y(t)=\omega R \cos(\omega t):
\frac{d}{dt}v_y(t) = \omega R \cdot \bigl(-\sin(\omega t)\bigr)\cdot \omega = -\omega^{2} R \operatorname{sen}(\omega t).
Portanto a aceleração vetorial é
\vec{a}(t)=-\omega^{2} R \cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}-\omega^{2} R \operatorname{sen}(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}.
Reconheço que isso é simplesmente -\omega^{2} vezes \vec{r}(t), pois \vec{r}(t)=R\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+R\operatorname{sen}(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}. Logo
\vec{a}(t)=-\omega^{2}\vec{r}(t).
Essa forma mostra que a aceleração aponta sempre no sentido oposto ao vetor posição — isto é, dirigida para o centro do círculo (daí o nome aceleração centrípeta).

Passo 7

Calculo o módulo de \vec{a}(t). Como antes:
|\vec{a}(t)|=\sqrt{a_x(t)^2+a_y(t)^2}
com a_x(t)=-\omega^{2} R \cos(\omega t) e a_y(t)=-\omega^{2} R \operatorname{sen}(\omega t). Então
a_x(t)^2+a_y(t)^2 = (\omega^{2} R)^2\bigl(\cos^2(\omega t)+\operatorname{sen}^2(\omega t)\bigr) = (\omega^{2} R)^2.
Assim
|\vec{a}(t)|=\sqrt{(\omega^{2} R)^2}=\omega^{2} R.

Passo 8

Finalmente, relaciono a aceleração com o módulo da velocidade e o raio. Já temos v=\omega R. Isolo \omega:
\omega=\frac{v}{R}.
Substituo na expressão |\vec{a}(t)|=\omega^{2} R:
a=\omega^{2} R = \left(\frac{v}{R}\right)^{2}R = \frac{v^{2}}{R}.
Portanto a magnitude da aceleração centrípeta é
a=\frac{v^{2}}{R},
direcionada radialmente para o centro (isso vem do sinal negativo em \vec{a}(t)=-\omega^{2}\vec{r}(t)).

Resposta

\vec{r}(t)=R \cos (\omega t) \hat{\mathbf{i}}+R \operatorname{sen}(\omega t) \hat{\mathbf{j}},\\ \omega=\dfrac{2\pi}{T};\\ |\vec{r}(t)|=R
\vec{v}(t)=-\omega R \operatorname{sen}(\omega t) \hat{\mathbf{i}}+\omega R \cos (\omega t) \hat{\mathbf{j}};\\ |\vec{v}(t)|=\omega R=\dfrac{2\pi R}{T}
\vec{a}(t)=-\omega^{2} R \cos (\omega t) \hat{\mathbf{i}}-\omega^{2} R \operatorname{sen}(\omega t) \hat{\mathbf{j}}=-\omega^{2}\vec{r}(t);\\ |\vec{a}(t)|=\omega^{2}R;\\ a=\dfrac{v^{2}}{R}

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