Suponha um movimento circular uniforme de raio
e período
em um plano.
a) Argumente que esse movimento pode ser representado por
com
. A seguir, use a equação (29) para verificar que
.
b) Mostre que
Parta da equação (30) para concluir que
, isto é,
c) Constate que
Certifique que
. Por fim, empregue os resultados acima para obter a relação entre o módulo da aceleração centrípeta em função do módulo da velocidade e do raio da trajetória:
a) Argumente que esse movimento pode ser representado por
b) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá um movimento circular uniforme de raio
e período
num plano e faz três pedidos principais:
- Mostrar que o movimento pode ser representado por
com
, e usar a equação (29) para verificar que
.
- Mostrar que
partindo da equação (30), e concluir que
.
- Mostrar que
verificar que
e, finalmente, usar os resultados para obter
Informações dadas que usaremos: o raio
, o período
, e as equações (29) e (30) do enunciado (que correspondem a fórmulas padrão: norma de vetor e derivada vetorial). Não começo a resolver aqui; apenas identifiquei os pedidos e os dados.
Passo 2
Por que a parametrização com cosseno e seno é natural? Vou explicar devagarinho.
- Num movimento circular uniforme, a partícula descreve um círculo de raio
com velocidade angular constante. Isso significa que o ângulo polar (o ângulo que a posição do ponto faz com o eixo ) cresce linearmente com o tempo: . Aqui é a velocidade angular (medida em rad/s) e é o ângulo inicial. - Como o movimento é uniforme, em um período
o ângulo aumenta exatamente radianos: . Isso implica e, portanto,
- Escolhendo, sem perda de generalidade, o instante inicial
com (ou seja, partimos do ponto ), temos . - Em coordenadas cartesianas, um ponto de coordenada polar
tem componentes e . Substituindo obtemos
Isto responde a primeira parte: a forma apresentada é exatamente a parametrização padrão de um ponto que descreve um círculo de raio
com velocidade angular
.
Passo 3
Agora usamos a equação (29). A equação (29) é a fórmula padrão da norma de um vetor posição em coordenadas cartesianas:
Aqui
e
. Substituo na fórmula:
Calcule
:
Factorizo
:
Uso a identidade trigonométrica fundamental
(para qualquer
), então
Logo
Assim verifiquei explicitamente que a distância ao centro é sempre
, como deveria ocorrer num movimento circular.
Passo 4
Passando para a velocidade: a equação (30) do enunciado corresponde à definição usual de velocidade como derivada temporal do vetor posição:
Vou derivar componente a componente. Temos
Para derivar funções compostas do tipo
uso a regra da cadeia:
. Também lembro as derivadas básicas:
e
.
Aplicando isso:
- Derivada da componente
:
- Derivada da componente
:
Portanto a velocidade vetorial é
que é exatamente o que se pedia. (Observe: cada componente é uma função do tempo; o fator
tem dimensão de velocidade.)
Passo 5
Agora verifico o módulo de
. Uso novamente a definição da norma:
com
e
. Calculo:
De novo uso
, então
Logo
Substituindo
obtenho a forma com o período:
Isto mostra que a rapidez (módulo da velocidade) é constante no movimento circular uniforme e igual a
.
Passo 6
Agora passo para a aceleração: por definição
. Vou derivar as componentes de
encontradas no passo anterior.
Temos
Derivando componente a componente (novamente usando a regra da cadeia):
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Portanto a aceleração vetorial é
Reconheço que isso é simplesmente
vezes
, pois
. Logo
Essa forma mostra que a aceleração aponta sempre no sentido oposto ao vetor posição — isto é, dirigida para o centro do círculo (daí o nome aceleração centrípeta).
Passo 7
Calculo o módulo de
. Como antes:
com
e
. Então
Assim
Passo 8
Finalmente, relaciono a aceleração com o módulo da velocidade e o raio. Já temos
. Isolo
:
Substituo na expressão
:
Portanto a magnitude da aceleração centrípeta é
direcionada radialmente para o centro (isso vem do sinal negativo em
).