Suponha que uma partícula se move ao longo da curva \gamma dada por \gamma(t)=(\cos (t), \operatorname{sen}(t), 2 t) durante o intervalo de tempo 0 \leq t \leq 1. Encontre o comprimento da trajetória percorrida por tal partícula.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \gamma e pede o comprimento da trajetória percorrida no intervalo de tempo 0 \le t \le 1.
Dados fornecidos:
\gamma(t) = (\cos(t),\,\operatorname{sen}(t),\,2t)
para 0 \le t \le 1.
O que é pedido:
  • Calcular o comprimento da curva \gamma quando t varia de 0 até 1.

Passo 2

Lembra da definição prática do comprimento de uma curva paramétrica? A gente aproxima a curva por pequenos segmentos de reta e soma os comprimentos desses segmentos; no limite isso vira uma integral. A fórmula que usamos é:
L=\int_{a}^{b} \big\lVert \gamma'(t)\big\rVert\,dt
onde:
  • L é o comprimento da curva entre t=a e t=b;
  • \gamma'(t) é a derivada vetorial de \gamma, ou seja, a velocidade da partícula no instante t;
  • \big\lVert \gamma'(t)\big\rVert é a norma (magnitude) do vetor velocidade; para um vetor (x,y,z) a norma é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Essa fórmula vem de aproximar a curva por muitos segmentos pequenos de comprimento aproximado \big\lVert \gamma'(t_i)\big\rVert\Delta t e tomar o limite (soma de Riemann).

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada componente a componente. Dada
\gamma(t)=(\cos t,\;\operatorname{sen} t,\;2t),
derivando cada componente em relação a t obtemos
\gamma'(t)=\big(-\sin t,\;\cos t,\;2\big).
Expliquei: a derivada de \cos t é -\sin t, a derivada de \operatorname{sen} t é \cos t, e a derivada de 2t é 2.

Passo 4

Calcular a norma \big\lVert \gamma'(t)\big\rVert. Pela definição da norma:
\big\lVert \gamma'(t)\big\rVert = \sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+2^{2}}.
Agora simplificamos usando a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}t+\cos^{2}t=1. Assim,
(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+2^{2}=\sin^{2}t+\cos^{2}t+4=1+4=5.
Portanto a norma fica
\big\lVert \gamma'(t)\big\rVert = \sqrt{5},
que é constante (independe de t). Isso facilita muito a integral.

Passo 5

Aplicamos a fórmula do comprimento com a=0 e b=1:
L=\int_{0}^{1}\big\lVert \gamma'(t)\big\rVert\,dt=\int_{0}^{1}\sqrt{5}\,dt.
Como \sqrt{5} é constante, a integral é simplesmente \sqrt{5} vezes o comprimento do intervalo:
L=\sqrt{5}\,[t]_{0}^{1}=\sqrt{5}\cdot(1-0)=\sqrt{5}.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova: geometricamente \gamma(t)=(\cos t,\sin t,2t) é um trecho de hélice (uma volta leve em torno do eixo z enquanto sobe). O fato de a norma da velocidade ser constante simplificou tudo — na prova, sempre que der para reduzir \big\lVert \gamma'(t)\big\rVert a uma constante, o comprimento vira constante vezes (b-a). Força, você consegue usar esse procedimento direto na prova: derivar componente a componente, calcular a norma (usar identidades trigonométricas quando aparecerem), e integrar.

Resposta

\sqrt{5}

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