Suponha que numa pesquisa de mercado estima-se que no mínimo 60 % das pessoas entrevistadas preferirão a marca A de um produto. Essa informação é baseada em pesquisas anteriores. Deseja saber qual o tamanho da amostra, de modo que a proporção de indivíduos que preferem a marca A na amostra difira de menos de 3% da proporção verdadeira de pessoas que preferem a marca A na população, com probabilidade 95 %.

Passo 1

Beleza, o exercício é de Estatística inferencial, mais especificamente sobre “tamanho de amostra para proporção”. A ideia é descobrir quantas pessoas precisamos entrevistar pra garantir que a proporção observada fique no máximo 3% (0,03 em valor decimal) de distância da proporção real, com 95% de confiança. Pra isso, vamos usar a fórmula do erro máximo (margem de erro) em um intervalo de confiança de proporção, além de tabela (ou valor) da distribuição normal padrão.

Passo 2

Antes de mais nada, qual é a teoria? Quando a gente estima uma proporção p a partir de uma amostra de tamanho n, a distribuição amostral de hat p (a proporção observada) se comporta, para n grande, como uma normal com média p e desvio-padrão raizp(1-p)n. O intervalo de confiança de nível 95% para p fica:
hat p pm z0,975,raizhat p,(1-hat p)n
onde z0,975=1,96 é o quantil de 97,5% da normal padrão. A “margem de erro” E é
E ;=; z0,975,raizp,(1-p)n

Passo 3

O que precisamos?
• Valor de p (estimado pelas pesquisas anteriores): p=0,60.
• Complemento: 1-p=0,40.
• Nível de confiança 95% → z0,975=1,96.
• Margem de erro máxima desejada: E=0,03.
Agora, isolamos n na fórmula do erro:
E = z,raizp(1-p)n Longrightarrow n = z^2,p(1-p)E^2

Passo 4

Substituindo os valores:
n = 1,96^2 times 0,60 times 0,400,03^2 = 3,8416 times 0,240,0009 = 0,9219840,0009 approx 1024,43
Como não podemos entrevistar 0,43 de pessoa, arredondamos sempre pra cima (pra garantir a margem de erro):
n = 1025

Resposta

Precisamos de uma amostra de 1025 pessoas.

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