Suponha que um planeta seja uma esfera uniforme de raio R=1.000 \mathrm{Km}, que (de algum modo) possui um túnel radial estreito que passa pelo seu centro. Suponha também que seja possível posicionar uma maçã em qualquer lugar do túnel ou do lado de fora do planeta. Seja F o módulo da força gravitacional experimentada pela maçã quando está na superfície do planeta. A que distância da superfície do planeta está o ponto no qual o módulo da força gravitacional sobre a maçã é \frac{1}{2} F se a maçã é deslocada
para dentro do túnel?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: o planeta é uma esfera uniforme de raio R=1{.}000\\ \mathrm{km}.
  • Dado: existe um túnel radial que passa pelo centro do planeta; a maçã pode ser colocada em qualquer ponto dentro desse túnel.
  • Dado: F é o módulo da força gravitacional que atua na maçã quando ela está na superfície do planeta.
  • Pedido: ao deslocar a maçã para dentro do túnel (isto é, para uma distância radial r do centro menor que R), encontrar a que distância da superfície do planeta (distância medida ao longo do túnel, em direção ao centro) está o ponto onde o módulo da força gravitacional sobre a maçã vale \tfrac{1}{2}F.

Passo 2

Relembrando a lei da gravitação de Newton (fórmula que vamos usar): a força gravitacional entre duas massas pontuais é dada por
F=\frac{G\,m_1 m_2}{r^2},
onde G é a constante gravitacional, m_1 e m_2 são as massas e r é a distância entre os centros. Aqui, para a maçã de massa m e o planeta de massa total M, essa fórmula dá a força quando a maçã está fora ou na superfície do planeta (ou, se tratássemos a massa total concentrada no centro, quando estivermos fora da esfera).
Explicação das letras:
  • G: constante universal de gravitação (não precisamos do valor numérico).
  • m: massa da maçã (cancela na razão final; não precisamos do seu valor).
  • M: massa total do planeta.
  • r: distância do centro do planeta até a maçã.

Passo 3

Aplicando agora o teorema das cascas (ou teorema de Newton para esferas): para uma esfera esfericamente simétrica e de densidade uniforme, o campo gravitacional no interior (a uma distância r<R do centro) é devido apenas à massa contida dentro do raio r. A massa das cascas esféricas exteriores a r não contribui para a força sobre um corpo em r (o efeito líquido é zero).
Logo, a massa efetiva que puxa a maçã quando ela está a uma distância r do centro é a massa contida no interior de raio r, que chamamos de M_r.
Como a densidade é uniforme, a densidade volumétrica é
\rho=\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}.
Então a massa contida dentro do raio r é
M_r=\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3 = M\frac{r^3}{R^3}.

Passo 4

Agora calculamos a força gravitacional sobre a maçã quando ela está a distância r<R do centro, usando apenas a massa M_r como se estivesse concentrada no centro:
F(r)=\frac{G\,m\,M_r}{r^2}.
Substituindo M_r = M\frac{r^3}{R^3} obtemos
F(r)=\frac{G\,m}{r^2}\left(M\frac{r^3}{R^3}\right)=G\,m\,M\frac{r}{R^3}.
Compare isso com a força na superfície r=R. Na superfície vale
F=F(R)=\frac{G\,m\,M}{R^2}.
Dividindo F(r) por F para ver a relação,
\frac{F(r)}{F}=\frac{G\,m\,M\frac{r}{R^3}}{\frac{G\,m\,M}{R^2}}=\frac{r}{R}.
Portanto a lei interna é simples e linear:
F(r)=F\cdot\frac{r}{R}.
Interpretação física curta: dentro de uma esfera uniforme a aceleração gravitacional cresce linearmente com a distância ao centro (zero no centro, g máximo na superfície).

Passo 5

Impondo a condição pedida: queremos F(r)=\tfrac{1}{2}F. Usando a relação anterior,
F\cdot\frac{r}{R}=\frac{1}{2}F.
Cancelando F (assumindo F\neq0),
\frac{r}{R}=\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad r=\frac{R}{2}.

Passo 6

A pergunta pede a distância medida a partir da superfície em direção ao interior. Essa distância é
\text{distância abaixo da superfície}=R-r=R-\frac{R}{2}=\frac{R}{2}.âí
Substituindo R=1{.}000\\ \mathrm{km},
\text{distância}=\frac{1{.}000\\ \mathrm{km}}{2}=500\\ \mathrm{km}.â

Passo 7

Comentário final e incentivo: ou seja, o ponto onde a força vale metade da força na superfície fica exatamente a meio caminho entre a superfície e o centro — a 500\\ \mathrm{km} abaixo da superfície. Excelente: problema clássico e a conta ficou curtinha graças ao teorema das cascas. Vai dar tudo certo na prova — respira e parte pra próxima!

Resposta

500\\ \mathrm{km} abaixo da superfície.

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