Suponha que um planeta seja uma esfera uniforme de raio
, que (de algum modo) possui um túnel radial estreito que passa pelo seu centro. Suponha também que seja possível posicionar uma maçã em qualquer lugar do túnel ou do lado de fora do planeta. Seja
o módulo da força gravitacional experimentada pela maçã quando está na superfície do planeta. A que distância da superfície do planeta está o ponto no qual o módulo da força gravitacional sobre a maçã é
se a maçã é deslocada
para longe do planeta?
para longe do planeta?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto):
- Há um planeta esférico e de densidade uniforme com raio
. - Existe um túnel radial pelo centro, e pode-se posicionar uma maçã em qualquer ponto do túnel ou fora do planeta.
- Denota-se por
o módulo da força gravitacional que atua na maçã quando ela está na superfície do planeta. - Pergunta: quando a maçã é deslocada para longe do planeta (isto é, na direção radial para fora), a que distância da superfície está o ponto onde o módulo da força gravitacional vale
?
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas ou implicadas):
- A esfera é uniforme (densidade constante).
- Para pontos fora de uma esfera uniforme, a força gravitacional externa age como se toda a massa estivesse concentrada no centro (teorema da casca esférica).
- Não foram fornecidos valores de
, ou da massa da maçã; portanto devemos eliminar essas constantes por razões algébricas e dar a resposta em função de , depois substituir .
Passo 2
Conceito e fórmula para fora da esfera (explicação didática):
- A lei da gravitação universal de Newton diz que a força entre duas massas é proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os centros:
Aqui:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa total do planeta, -
é a massa da maçã, -
é a distância do centro do planeta até a maçã, -
é o módulo da força gravitacional nessa distância. - Pelo teorema da casca esférica, essa fórmula vale para todo ponto fora da esfera (ou sobre a superfície, com
). Assim, na superfície:
Explicando com calma: isso significa que, embora não saibamos
,
ou
, podemos comparar forças em duas distâncias diferentes e essas constantes vão se cancelar quando fizermos razões.
Passo 3
Escrever a condição pedida e eliminar constantes:
- Queremos a distância radial
(distância ao centro) para a qual . Logo:
- Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(não são zero), obtendo:
Passo 4
Resolver a equação para
:
- A igualdade anterior dá
- Tomando a raiz positiva (distância > 0):
Interpretação: o ponto desejado está a uma distância do centro igual a
vezes o raio.
Passo 5
Calcular a distância a partir da superfície:
- A distância medida a partir da superfície (ou seja, “a que distância da superfície”) é
- Isso é uma expressão limpa em termos de
. Na prática, substituiremos .
Passo 6
Substituir o valor numérico de
e obter o resultado numérico:
- Como o enunciado deu
, vou interpretar isso como . (Se o enunciado quisesse km, teria escrito ; aqui o ponto parece ser separador de milhares.) - Então
- Avaliando numericamente
, tem-se
Passo 7
Comentário didático rápido (ajuda para a prova e para fixar a ideia):
- Resumo da estratégia útil em prova: comparar a força em
com a força na superfície usando a razão . Isso elimina , e . - Observação extra (útil para confundir menos na prova): se a maçã fosse deslocada para dentro do túnel em direção ao centro, para
a força varia linearmente com (porque só a massa interior até contribui): . Nesse caso, a condição levaria a , ou seja, a uma distância do centro — ou seja, a distância até a superfície seria . Mas essa última é a situação para deslocamento para o centro; o enunciado pediu deslocamento para longe, então a resposta correta é a anterior.