Três lentes delgadas convergentes, com a mesma distância focal de 50 c m, são alinhadas ao longo de um eixo comum; a distância entre duas lentes consecutivas é 60 cm . Um objeto pequeno é colocado sobre o eixo a uma distância de 90 cm à esquerda da primeira lente. Qual é o aumento lateral da imagem final em relação ao objeto?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o aumento lateral (magnificação) da imagem final em relação ao objeto:
  • Três lentes delgadas convergentes, todas com distância focal \,f=50\\ \text{cm}.
  • As lentes estão alinhadas ao longo do mesmo eixo; a distância entre lentes consecutivas é \,60\\ \text{cm}.
  • Um objeto pequeno está sobre o eixo a \,90\\ \text{cm} à esquerda da primeira lente.
  • Pergunta: qual é o aumento lateral da imagem final em relação ao objeto (valor e sentido, ou seja sinal)?

Passo 2

Relembre as fórmulas e a convenção de sinais que vamos usar (muito importante para resolver passo a passo):
  • Fórmula das lentes delgadas:
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'},
onde:
  • f é a distância focal da lente (positiva para lente convergente),
  • s é a distância do objeto até a lente (positiva se o objeto está à esquerda da lente, no lado de entrada da luz — objeto real),
  • s' é a distância da imagem até a lente (positiva se a imagem está à direita da lente — imagem real).
  • Aumento lateral (magnificação) para uma lente delgada:
m=-\frac{s'}{s},
onde m é adimensional. O sinal indica orientação: m>0 imagem direta (não invertida em relação ao objeto local), m<0 imagem invertida.
  • Para sistemas com várias lentes sucessivas, a imagem formada por uma lente serve de objeto para a próxima; quando essa imagem estiver do lado direito da próxima lente, ela corresponde a um objeto virtual para essa lente e, então, o valor de s para essa lente será negativo (pois o objeto está no lado oposto do lado de entrada da luz).

Passo 3

Calcular imagem produzida pela primeira lente (Lente 1).
Dados para Lente 1:
f=50\\ \text{cm},\qquad s_1=90\\ \text{cm}.
Aplicando a fórmula da lente:
\frac{1}{s_1'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s_1}=\frac{1}{50}-\frac{1}{90}.
Calculemos com frações:
\frac{1}{50}-\frac{1}{90}=\frac{9-5}{450}=\frac{4}{450}=\frac{2}{225}.
Logo
s_1'=\frac{225}{2}=112{,}5\\ \text{cm}.
Interpretação: a primeira lente forma uma imagem real 112{,}5\\ \text{cm} à direita dela (porque s_1'>0).
Aumentos parciais:
m_1=-\frac{s_1'}{s_1}=-\frac{225/2}{90}=-\frac{225}{180}=-\frac{5}{4}=-1{,}25.

Passo 4

Localização da imagem 1 em relação à segunda lente (Lente 2).
A distância entre Lente 1 e Lente 2 é 60\\ \text{cm}. A imagem 1 está 112{,}5\\ \text{cm} à direita da Lente 1, portanto ela está a
112{,}5-60=52{,}5\\ \text{cm}
à direita da Lente 2.
Isso significa que, para a Lente 2, essa “imagem 1” está no lado direito da lente (lado oposto ao lado de entrada da luz). Portanto esse ponto atua como um objeto virtual para a Lente 2, com distância objeto
s_2=-52{,}5\\ \text{cm}=-\frac{105}{2}\\ \text{cm}
(negativa por ser objeto virtual).

Passo 5

Calcular imagem produzida pela Lente 2.
Usando f=50\\ \text{cm} e s_2=-\dfrac{105}{2}\\ \text{cm}:
\frac{1}{s_2'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s_2}=\frac{1}{50}-\frac{1}{-105/2}=\frac{1}{50}+\frac{2}{105}.
Calculemos em frações:
\frac{1}{50}+\frac{2}{105}=\frac{21}{1050}+\frac{20}{1050}=\frac{41}{1050}.
Logo
s_2'=\frac{1050}{41}\\ \text{cm}\approx25{,}609756\\ \text{cm}.
Interpretação: imagem 2 é real e está à direita da Lente 2 por s_2'>0.
Aumentação da Lente 2:
m_2=-\frac{s_2'}{s_2}=-\frac{1050/41}{-105/2}=\frac{1050}{41}\cdot\frac{2}{105}=\frac{20}{41}\approx0{,}4878.
Observe que m_2>0, ou seja, a imagem formada pela Lente 2 mantém a orientação relativa ao objeto que ela “vê” (a imagem 1, que aqui era virtual).

Passo 6

Localização da imagem 2 em relação à Lente 3.
A imagem 2 está s_2'=\dfrac{1050}{41}\\ \text{cm} à direita da Lente 2. Como a distância entre Lente 2 e Lente 3 é 60\\ \text{cm}, a posição da imagem 2 em relação à Lente 3 é:
\text{distância à esquerda de L3} = 60 - \frac{1050}{41} = \frac{60\cdot 41 - 1050}{41} = \frac{2460-1050}{41}=\frac{1410}{41}\\ \text{cm}\approx34{,}3902439\\ \text{cm}.âà
Portanto, a imagem 2 está à esquerda da Lente 3, a \dfrac{1410}{41}\\ \text{cm}; isso corresponde a um objeto real para a Lente 3, com
s_3=\frac{1410}{41}\\ \text{cm}.

Passo 7

Calcular imagem final produzida pela Lente 3.
Usando f=50\\ \text{cm} e s_3=\dfrac{1410}{41}\\ \text{cm}:
\frac{1}{s_3'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s_3}=\frac{1}{50}-\frac{41}{1410}.
Colocando em denominação comum:
\frac{1}{50}-\frac{41}{1410}=\frac{141}{7050}-\frac{205}{7050}=-\frac{64}{7050}=-\frac{32}{3525}.
Portanto
s_3'=-\frac{7050}{64}=-\frac{3525}{32}\\ \text{cm}\approx-110{,}15625\\ \text{cm}.
Sinal negativo indica que a imagem final é virtual e está à esquerda da Lente 3, a 110{,}15625\\ \text{cm}.
Aumento da Lente 3:
m_3=-\frac{s_3'}{s_3}=-\frac{-3525/32}{1410/41}=\frac{3525}{32}\cdot\frac{41}{1410}.
Simplificando:
\frac{3525}{1410}=\frac{235}{94}=\frac{5}{2},
logo
m_3=\frac{5}{2}\cdot\frac{41}{32}=\frac{205}{64}\approx3{,}203125.

Passo 8

Magnificação total do sistema: produto das ampliações de cada lente:
m_{\text{total}}=m_1\cdot m_2\cdot m_3.
Substituindo os valores:
m_{\text{total}}=\left(-\frac{5}{4}\right)\cdot\left(\frac{20}{41}\right)\cdot\left(\frac{205}{64}\right).
Façamos cancelamentos e simplificações:
  • \dfrac{20}{4}=5, então o fator -\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{20}{41} simplifica para -\dfrac{25}{41}.
  • Multiplicando por \dfrac{205}{64}:
m_{\text{total}}=-\frac{25}{41}\cdot\frac{205}{64}=-\frac{25\cdot205}{41\cdot64}.
Observe que 205=5\cdot41, então:
m_{\text{total}}=-\frac{25\cdot5\cdot41}{41\cdot64}=-\frac{125}{64}.
Em decimal:
m_{\text{total}}=-\frac{125}{64}\approx-1{,}953125.
Interpretação: o sinal negativo indica que a imagem final está invertida em relação ao objeto (no sentido global do sistema de lentes) e o módulo 1{,}953125 significa que a imagem final é aproximadamente 1{,}95 vezes maior que o objeto.

Resposta

-\dfrac{125}{64}\approx-1{,}953125

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