Três lentes delgadas convergentes, com a mesma distância focal de
, são alinhadas ao longo de um eixo comum; a distância entre duas lentes consecutivas é 60 cm . Um objeto pequeno é colocado sobre o eixo a uma distância de 90 cm à esquerda da primeira lente. Qual é o aumento lateral da imagem final em relação ao objeto?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o aumento lateral (magnificação) da imagem final em relação ao objeto:
- Três lentes delgadas convergentes, todas com distância focal
. - As lentes estão alinhadas ao longo do mesmo eixo; a distância entre lentes consecutivas é
. - Um objeto pequeno está sobre o eixo a
à esquerda da primeira lente. - Pergunta: qual é o aumento lateral da imagem final em relação ao objeto (valor e sentido, ou seja sinal)?
Passo 2
Relembre as fórmulas e a convenção de sinais que vamos usar (muito importante para resolver passo a passo):
- Fórmula das lentes delgadas:
onde:
-
é a distância focal da lente (positiva para lente convergente), -
é a distância do objeto até a lente (positiva se o objeto está à esquerda da lente, no lado de entrada da luz — objeto real), -
é a distância da imagem até a lente (positiva se a imagem está à direita da lente — imagem real). -
Aumento lateral (magnificação) para uma lente delgada:
onde
é adimensional. O sinal indica orientação:
imagem direta (não invertida em relação ao objeto local),
imagem invertida.
- Para sistemas com várias lentes sucessivas, a imagem formada por uma lente serve de objeto para a próxima; quando essa imagem estiver do lado direito da próxima lente, ela corresponde a um objeto virtual para essa lente e, então, o valor de
para essa lente será negativo (pois o objeto está no lado oposto do lado de entrada da luz).
Passo 3
Calcular imagem produzida pela primeira lente (Lente 1).
Dados para Lente 1:
Aplicando a fórmula da lente:
Calculemos com frações:
Logo
Interpretação: a primeira lente forma uma imagem real
à direita dela (porque
).
Aumentos parciais:
Passo 4
Localização da imagem 1 em relação à segunda lente (Lente 2).
A distância entre Lente 1 e Lente 2 é
. A imagem 1 está
à direita da Lente 1, portanto ela está a
à direita da Lente 2.
Isso significa que, para a Lente 2, essa “imagem 1” está no lado direito da lente (lado oposto ao lado de entrada da luz). Portanto esse ponto atua como um objeto virtual para a Lente 2, com distância objeto
(negativa por ser objeto virtual).
Passo 5
Calcular imagem produzida pela Lente 2.
Usando
e
:
Calculemos em frações:
Logo
Interpretação: imagem 2 é real e está à direita da Lente 2 por
.
Aumentação da Lente 2:
Observe que
, ou seja, a imagem formada pela Lente 2 mantém a orientação relativa ao objeto que ela “vê” (a imagem 1, que aqui era virtual).
Passo 6
Localização da imagem 2 em relação à Lente 3.
A imagem 2 está
à direita da Lente 2. Como a distância entre Lente 2 e Lente 3 é
, a posição da imagem 2 em relação à Lente 3 é:
Portanto, a imagem 2 está à esquerda da Lente 3, a
; isso corresponde a um objeto real para a Lente 3, com
Passo 7
Calcular imagem final produzida pela Lente 3.
Usando
e
:
Colocando em denominação comum:
Portanto
Sinal negativo indica que a imagem final é virtual e está à esquerda da Lente 3, a
.
Aumento da Lente 3:
Simplificando:
logo
Passo 8
Magnificação total do sistema: produto das ampliações de cada lente:
Substituindo os valores:
Façamos cancelamentos e simplificações:
-
, então o fator simplifica para . - Multiplicando por
:
Observe que
, então:
Em decimal:
Interpretação: o sinal negativo indica que a imagem final está invertida em relação ao objeto (no sentido global do sistema de lentes) e o módulo
significa que a imagem final é aproximadamente
vezes maior que o objeto.