Suponha um Planeta
que tem aceleração da gravidade em sua superficie de 12
. Para quais pontos a partir de seu centro (em termos de seu raio
) esta aceleração cairá para
? (Considere a massa homogênea em todo o planeta, sua forma perfeitamente esférica e desconsidere a aceleração centrifuga).
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Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Informação: o planeta é uma esfera homogênea de raio
(massa distribuída uniformemente) e a aceleração da gravidade na superfície vale . - Informação: desprezamos rotação (nenhuma aceleração centrífuga).
- Pedido: encontrar os pontos (distâncias radiais
a partir do centro), expressos em função de , onde a aceleração da gravidade tem valor . - Observação importante: pode haver soluções com
(dentro da esfera) e com (na superfície ou fora). O enunciado não exclui nem confirma nenhum caso, então devemos verificar ambos.
Passo 2
Conceito e fórmula para pontos fora da esfera (ou na casca exterior): para
a aceleração gravitacional é a mesma que a de uma massa pontual
concentrada no centro, dada por
onde
é a constante gravitacional,
é a massa total do planeta e
é a distância ao centro. Aqui cada símbolo significa:
-
: constante gravitacional (fixa, não precisamos do valor numérico). -
: massa total do planeta. -
: distância ao centro onde avaliamos .
Na superfícietemos
Dessa igualdade posso isolar
:
Agora substituo isso na expressão geral para
fora da esfera:
Passo 3
Resolver o caso exterior para
. Igualo e resolvo para
:
Divido ambos os lados por
:
Isolando
:
Tomando raiz positiva (distância):
Portanto existe um ponto fora da esfera, a uma distância
do centro, onde
.
Passo 4
Conceito e fórmula para pontos dentro da esfera homogênea: para
apenas a massa contida na esfera de raio
contribui para a força (princípio da casca esférica). A massa dentro do raio
é proporcional ao volume:
onde
é a massa total. A aceleração gravitacional em
(para
) é
Note o formato importante: dentro da esfera homogênea
cresce linearmente com
. Usando
(obtido no Passo 2) temos
Aqui
está expresso em
quando
e
estão nas mesmas unidades.
Passo 5
Resolver o caso interior para
. Igualo e resolvo:
Dividindo ambos os lados por
:
Logo
Isso significa que, dentro do planeta, no ponto situado à metade do raio a partir do centro, a gravidade também vale
.
Passo 6
Interpretação física curta e dica para prova:
- Dentro da esfera homogênea
cresce linearmente de no centro até na superfície; então metade do valor na superfície aparece em . - Fora da esfera
decresce como ; igualar a metade do valor de superfície dá . - Em provas, uma maneira rápida é lembrar dessas duas leis: para
, ; para , .