Suponha um Planeta B que tem aceleração da gravidade em sua superficie de 12 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. Para quais pontos a partir de seu centro (em termos de seu raio R_{\mathrm{s}} ) esta aceleração cairá para 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ? (Considere a massa homogênea em todo o planeta, sua forma perfeitamente esférica e desconsidere a aceleração centrifuga).
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Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Informação: o planeta é uma esfera homogênea de raio R_{\mathrm{s}} (massa distribuída uniformemente) e a aceleração da gravidade na superfície vale \,12\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
  • Informação: desprezamos rotação (nenhuma aceleração centrífuga).
  • Pedido: encontrar os pontos (distâncias radiais r a partir do centro), expressos em função de R_{\mathrm{s}}, onde a aceleração da gravidade tem valor \,6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
  • Observação importante: pode haver soluções com r<R_{\mathrm{s}} (dentro da esfera) e com r\ge R_{\mathrm{s}} (na superfície ou fora). O enunciado não exclui nem confirma nenhum caso, então devemos verificar ambos.

Passo 2

Conceito e fórmula para pontos fora da esfera (ou na casca exterior): para r\ge R_{\mathrm{s}} a aceleração gravitacional é a mesma que a de uma massa pontual M concentrada no centro, dada por
g(r)=\frac{G\,M}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional, M é a massa total do planeta e r é a distância ao centro. Aqui cada símbolo significa:
  • G: constante gravitacional (fixa, não precisamos do valor numérico).
  • M: massa total do planeta.
  • r: distância ao centro onde avaliamos g.
    Na superfície r=R_{\mathrm{s}} temos
g(R_{\mathrm{s}})=\frac{G\,M}{R_{\mathrm{s}}^{2}}=12\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
Dessa igualdade posso isolar G\,M:
G\,M = 12\,R_{\mathrm{s}}^{2}.
Agora substituo isso na expressão geral para g(r) fora da esfera:
g(r)=\frac{12\,R_{\mathrm{s}}^{2}}{r^{2}}.

Passo 3

Resolver o caso exterior para g(r)=6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2. Igualo e resolvo para r:
\frac{12\,R_{\mathrm{s}}^{2}}{r^{2}}=6.
Divido ambos os lados por 6:
\frac{12\,R_{\mathrm{s}}^{2}}{r^{2}}\cdot\frac{1}{6}=\;1 \quad\Rightarrow\quad \frac{2\,R_{\mathrm{s}}^{2}}{r^{2}}=1.
Isolando r^{2}:
r^{2}=2\,R_{\mathrm{s}}^{2}.
Tomando raiz positiva (distância):
r=\sqrt{2}\,R_{\mathrm{s}}.
Portanto existe um ponto fora da esfera, a uma distância \sqrt{2}\,R_{\mathrm{s}} do centro, onde g=6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

Passo 4

Conceito e fórmula para pontos dentro da esfera homogênea: para r<R_{\mathrm{s}} apenas a massa contida na esfera de raio r contribui para a força (princípio da casca esférica). A massa dentro do raio r é proporcional ao volume:
M_{r}=M\left(\frac{r^{3}}{R_{\mathrm{s}}^{3}}\right),
onde M é a massa total. A aceleração gravitacional em r (para r<R_{\mathrm{s}}) é
g(r)=\frac{G\,M_{r}}{r^{2}}=\frac{G\,M}{r^{2}}\cdot\frac{r^{3}}{R_{\mathrm{s}}^{3}}=\frac{G\,M\,r}{R_{\mathrm{s}}^{3}}.
Note o formato importante: dentro da esfera homogênea g(r) cresce linearmente com r. Usando G\,M=12\,R_{\mathrm{s}}^{2} (obtido no Passo 2) temos
g(r)=\frac{12\,R_{\mathrm{s}}^{2}\,r}{R_{\mathrm{s}}^{3}}=12\left(\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}\right).
Aqui g(r) está expresso em \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 quando r e R_{\mathrm{s}} estão nas mesmas unidades.

Passo 5

Resolver o caso interior para g(r)=6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2. Igualo e resolvo:
12\left(\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}\right)=6.
Dividindo ambos os lados por 12:
\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}=\frac{6}{12}=\tfrac{1}{2}.
Logo
r=\tfrac{1}{2}\,R_{\mathrm{s}}.
Isso significa que, dentro do planeta, no ponto situado à metade do raio a partir do centro, a gravidade também vale 6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

Passo 6

Interpretação física curta e dica para prova:
  • Dentro da esfera homogênea g(r) cresce linearmente de 0 no centro até 12\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 na superfície; então metade do valor na superfície aparece em r=\tfrac{1}{2}R_{\mathrm{s}}.
  • Fora da esfera g(r) decresce como 1/r^{2}; igualar g(r) a metade do valor de superfície dá r=\sqrt{2}\,R_{\mathrm{s}}.
  • Em provas, uma maneira rápida é lembrar dessas duas leis: para r<R_{\mathrm{s}}, g(r)=g(R_{\mathrm{s}})\,(r/R_{\mathrm{s}}); para r\ge R_{\mathrm{s}}, g(r)=g(R_{\mathrm{s}})\,(R_{\mathrm{s}}/r)^{2}.

Resposta

r=\tfrac{1}{2}\,R_{\mathrm{s}}
r=\sqrt{2}\,R_{\mathrm{s}}\approx 1,4142\,R_{\mathrm{s}}

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