Suponha dois planetas C e D, orbitando a mesma estrela central. Se o Planeta Ctem semieixo nove vezes maior que o de um Planeta D, o quăo maior é o periodo do Planeta C comparado ao do Planeta D?
\_\_\_\_ (2) 2 (n)

Passo 1

O enunciado dá duas informações importantes e faz uma pergunta clara.
  • Dados:
    • Dois planetas C e D orbitam a mesma estrela.
    • O semieixo maior do planeta C é nove vezes o semieixo maior do planeta D. Em fórmulas: \displaystyle a_C = 9\,a_D.
  • Pergunta:
    • Quão maior é o período orbital do planeta C comparado ao período do planeta D? Ou seja, queremos calcular a razão \displaystyle \frac{T_C}{T_D}, onde T denota o período orbital.

Passo 2

Introduzindo a relação que liga período orbital ao semieixo maior (importante saber isso para resolver a questão).
  • Para órbitas ao redor da mesma estrela, vale a terceira lei de Kepler na forma proporcional:
    T^2 \propto a^3.
    Aqui:
    • T é o período orbital (tempo que o planeta leva para dar uma volta completa).
    • a é o semieixo maior da órbita (uma medida do “tamanho” da órbita).
    • O sinal \propto significa “proporcional a”: o quadrado do período é proporcional ao cubo do semieixo maior.
  • Como ambos orbitam a mesma estrela, a constante de proporcionalidade é a mesma para os dois planetas, então podemos comparar os quadrados dos períodos pela razão dos cubos dos semieixos:
    \frac{T_C^2}{T_D^2} = \frac{a_C^3}{a_D^3}.

Passo 3

Passando da relação entre quadrados dos períodos para a relação entre os períodos em si.
  • Tome a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade anterior para obter a razão dos períodos: \frac{T_C}{T_D} = \left(\frac{a_C}{a_D}\right)^{3/2}.
  • Explicação rápida do expoente: como T^2 está proporcional a a^3, quando passamos para T obtemos T \propto a^{3/2}. O expoente 3/2 significa “elevar ao cubo e depois tirar a raiz quadrada” (ou tirar a raiz e depois elevar ao cubo — dá o mesmo).

Passo 4

Substituindo a razão dos semieixos dada no enunciado.
  • Sabemos que \displaystyle \frac{a_C}{a_D}=9. Substituindo na fórmula da razão dos períodos: \frac{T_C}{T_D} = 9^{3/2}.

Passo 5

Calcule 9^{3/2} de forma simples e didática.
  • Podemos calcular 9^{3/2} de duas maneiras equivalentes:
    • Primeiro tirar raiz quadrada e depois elevar ao cubo: 9^{3/2} = \bigl(9^{1/2}\bigr)^3 = 3^3 = 27.
    • Ou primeiro elevar ao cubo e depois tirar a raiz: 9^{3/2} = \bigl(9^3\bigr)^{1/2} = 729^{1/2} = 27.
  • Resultado: \displaystyle \frac{T_C}{T_D}=27.

Passo 6

Interpretação final e um exemplo numérico para fixar (coisa de amigo pra te animar).
  • Isso significa que o período do planeta C é 27 vezes maior que o período do planeta D.
  • Exemplo: se o planeta D tivesse período T_D=1 ano, então T_C=27 anos — dá pra ver como aumentar o tamanho da órbita faz o planeta demorar muito mais para completar uma volta.

Resposta

O período do Planeta C é 27 vezes maior que o do Planeta D.

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