Suponha dois planetas
e
, orbitando a mesma estrela central. Se o Planeta Ctem semieixo nove vezes maior que o de um Planeta D, o quăo maior é o periodo do Planeta C comparado ao do Planeta D?
(2) 2 (n)
Passo 1
O enunciado dá duas informações importantes e faz uma pergunta clara.
-
Dados:
- Dois planetas
e orbitam a mesma estrela. - O semieixo maior do planeta
é nove vezes o semieixo maior do planeta . Em fórmulas: .
- Dois planetas
-
Pergunta:
- Quão maior é o período orbital do planeta
comparado ao período do planeta ? Ou seja, queremos calcular a razão , onde denota o período orbital.
- Quão maior é o período orbital do planeta
Passo 2
Introduzindo a relação que liga período orbital ao semieixo maior (importante saber isso para resolver a questão).
-
Para órbitas ao redor da mesma estrela, vale a terceira lei de Kepler na forma proporcional:Aqui:
-
é o período orbital (tempo que o planeta leva para dar uma volta completa). -
é o semieixo maior da órbita (uma medida do “tamanho” da órbita). - O sinal
significa “proporcional a”: o quadrado do período é proporcional ao cubo do semieixo maior.
-
-
Como ambos orbitam a mesma estrela, a constante de proporcionalidade é a mesma para os dois planetas, então podemos comparar os quadrados dos períodos pela razão dos cubos dos semieixos:
Passo 3
Passando da relação entre quadrados dos períodos para a relação entre os períodos em si.
- Tome a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade anterior para obter a razão dos períodos:
- Explicação rápida do expoente: como
está proporcional a , quando passamos para obtemos . O expoente significa “elevar ao cubo e depois tirar a raiz quadrada” (ou tirar a raiz e depois elevar ao cubo — dá o mesmo).
Passo 4
Substituindo a razão dos semieixos dada no enunciado.
- Sabemos que
. Substituindo na fórmula da razão dos períodos:
Passo 5
Calcule
de forma simples e didática.
- Podemos calcular
de duas maneiras equivalentes: - Primeiro tirar raiz quadrada e depois elevar ao cubo:
- Ou primeiro elevar ao cubo e depois tirar a raiz:
- Primeiro tirar raiz quadrada e depois elevar ao cubo:
- Resultado:
.
Passo 6
Interpretação final e um exemplo numérico para fixar (coisa de amigo pra te animar).
- Isso significa que o período do planeta
é 27 vezes maior que o período do planeta . - Exemplo: se o planeta
tivesse período ano, então anos — dá pra ver como aumentar o tamanho da órbita faz o planeta demorar muito mais para completar uma volta.
Resposta
O período do Planeta
é
vezes maior que o do Planeta
.