Suponha que o ponto inicial da curva C, descrita por: x=2 \cos t, y=t e z=-2 \operatorname{sen} t, seja o ponto (2,0,0) e que esta esteja dada na direção positiva. Nestas condições faça o que se pede:
(a) Determine a função comprimento de curva;
(b) Supondo que você, se mova \sqrt{5} \pi unidades ao longo de C começando do ponto inicial da curva, em qual ponto você estará?

Passo 1

O enunciado nos dá a curva C parametrizada por
x=2\cos t,\qquad y=t,\qquad z=-2\sin t,
com ponto inicial igual a (2,0,0) e a orientação sendo a direção positiva (isto é, aumentos de t movem ao longo da curva). As perguntas são:
(a) Determinar a função comprimento de curva (isto é, a função s(t) que dá o comprimento medido ao longo de C desde o ponto inicial até o parâmetro t);
(b) Supondo que se mova uma distância \sqrt{5}\,\pi ao longo de C a partir do ponto inicial, determinar em que ponto (x,y,z) da curva se estará.
Informações relevantes dadas:
  • Equações paramétricas da curva (peguei estes da escrita do enunciado).
  • Ponto inicial (2,0,0).
  • Direção positiva (aumentando t é o sentido do movimento).
  • Distância a percorrer no item (b): \sqrt{5}\,\pi.

Passo 2

Identificar o valor de parâmetro t que corresponde ao ponto inicial (2,0,0). Substituindo t=0 nas equações paramétricas:
x(0)=2\cos 0=2\cdot 1=2,\qquad y(0)=0,\qquad z(0)=-2\sin 0=-2\cdot 0=0.
Portanto o ponto inicial corresponde a t_0=0. Como a orientação é a direção positiva, vamos medir comprimentos com t aumentando a partir de 0.

Passo 3

Reescrevendo a curva como vetor posição para aplicar fórmulas padrão:
\mathbf{r}(t)=\bigl(2\cos t,\; t,\; -2\sin t\bigr).
Aqui \mathbf{r}(t) é o vetor posição de um ponto da curva em função do parâmetro t.

Passo 4

Lembrando a definição prática de comprimento de arco: para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t) com parâmetro t em [a,b], o comprimento percorrido da posição t=a até t=t (com t\ge a) é dado por
s(t)=\int_{a}^{t}\bigl\lVert \mathbf{r}'(u)\bigr\rVert\,du.
Explicando rapidamente: \mathbf{r}'(u) é a velocidade (derivada do vetor posição) e \lVert\mathbf{r}'(u)\rVert é a velocidade escalar (módulo da velocidade). A integral acumula essas velocidades ao longo do tempo/parametro para dar o comprimento. No nosso caso a=t_0=0.

Passo 5

Calcular a derivada \mathbf{r}'(t) componente a componente. Usando \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t:
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-2\sin t,\; 1,\; -2\cos t\bigr).
Aqui cada componente é a derivada da respectiva coordenada em relação a t.

Passo 6

Calcular o módulo (norma) da velocidade \lVert\mathbf{r}'(t)\rVert. Primeiro o quadrado da norma:
\lVert\mathbf{r}'(t)\rVert^{2}=(-2\sin t)^{2}+1^{2}+(-2\cos t)^{2}=4\sin^{2}t+1+4\cos^{2}t.
Agrupando os termos com \sin^{2}t e \cos^{2}t e usando a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, obtemos
\lVert\mathbf{r}'(t)\rVert^{2}=4(\sin^{2}t+\cos^{2}t)+1=4\cdot 1+1=5.
Logo a norma é constantemente
\lVert\mathbf{r}'(t)\rVert=\sqrt{5}.
Observação didática: isso diz que a velocidade ao longo da curva tem módulo constante, então a curva é percorrida com velocidade escalar constante \sqrt{5}.

Passo 7

Aplicar a fórmula do comprimento de arco com a=0. Como a velocidade é constante \sqrt{5}, a integral fica simples:
s(t)=\int_{0}^{t}\lVert\mathbf{r}'(u)\rVert\,du=\int_{0}^{t}\sqrt{5}\,du=\sqrt{5}\,t + C.
Impondo s(0)=0 (comprimento zero no ponto inicial) obtemos C=0. Portanto a função comprimento de curva é
s(t)=\sqrt{5}\,t,\qquad t\ge 0.
Interpretação: o comprimento cresce linearmente com t, com razão \sqrt{5} unidades de comprimento por unidade de parâmetro.

Passo 8

Responder o item (b): queremos o ponto alcançado ao andar uma distância L=\sqrt{5}\,\pi a partir do ponto inicial. Usamos s(t)=\sqrt{5}\,t e resolvemos
\sqrt{5}\,t = \sqrt{5}\,\pi \quad\Longrightarrow\quad t=\pi.
Como t=\pi é o parâmetro correspondente ao ponto procurado (e estamos no sentido positivo, t aumenta de 0 até \pi), basta avaliar \mathbf{r}(\pi).

Passo 9

Calcular as coordenadas no parâmetro t=\pi. Usando \cos\pi=-1 e \sin\pi=0:
x(\pi)=2\cos\pi=2\cdot(-1)=-2,
y(\pi)=\pi,
z(\pi)=-2\sin\pi=-2\cdot 0=0.
Logo o ponto alcançado é (-2,\pi,0).

Resposta

s(t)=\sqrt{5}\,t para t\ge 0.\n (-2,\pi,0)

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