Suponha que o ponto inicial da curva C, descrita por: x=2 \cos t, y=t e z=-2 \operatorname{sen} t, seja o ponto (2,0,0) e que esta esteja dada na direção positiva. Nestas condições faça o que se pede:
(a) Determine a função comprimento de curva;
(b) Supondo que você, se mova \sqrt{5} \pi unidades ao longo de C começando do ponto inicial da curva, em qual ponto você estará?
Passo 1
O enunciado nos dá a curva C parametrizada por
x=2\cos t,\qquad y=t,\qquad z=-2\sin t,
com ponto inicial igual a (2,0,0) e a orientação sendo a direção positiva (isto é, aumentos de t movem ao longo da curva). As perguntas são:
(a) Determinar a função comprimento de curva (isto é, a função s(t) que dá o comprimento medido ao longo de C desde o ponto inicial até o parâmetro t);
(b) Supondo que se mova uma distância \sqrt{5}\,\pi ao longo de C a partir do ponto inicial, determinar em que ponto (x,y,z) da curva se estará.
Informações relevantes dadas:
Equações paramétricas da curva (peguei estes da escrita do enunciado).
Ponto inicial (2,0,0).
Direção positiva (aumentando t é o sentido do movimento).
Distância a percorrer no item (b): \sqrt{5}\,\pi.
Passo 2
Identificar o valor de parâmetro t que corresponde ao ponto inicial (2,0,0). Substituindo t=0 nas equações paramétricas:
Aqui \mathbf{r}(t) é o vetor posição de um ponto da curva em função do parâmetro t.
Passo 4
Lembrando a definição prática de comprimento de arco: para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t) com parâmetro t em [a,b], o comprimento percorrido da posição t=a até t=t (com t\ge a) é dado por
Explicando rapidamente: \mathbf{r}'(u) é a velocidade (derivada do vetor posição) e \lVert\mathbf{r}'(u)\rVert é a velocidade escalar (módulo da velocidade). A integral acumula essas velocidades ao longo do tempo/parametro para dar o comprimento. No nosso caso a=t_0=0.
Passo 5
Calcular a derivada \mathbf{r}'(t) componente a componente. Usando \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t:
Observação didática: isso diz que a velocidade ao longo da curva tem módulo constante, então a curva é percorrida com velocidade escalar constante \sqrt{5}.
Passo 7
Aplicar a fórmula do comprimento de arco com a=0. Como a velocidade é constante \sqrt{5}, a integral fica simples:
s(t)=\int_{0}^{t}\lVert\mathbf{r}'(u)\rVert\,du=\int_{0}^{t}\sqrt{5}\,du=\sqrt{5}\,t + C.
Impondo s(0)=0 (comprimento zero no ponto inicial) obtemos C=0. Portanto a função comprimento de curva é
s(t)=\sqrt{5}\,t,\qquad t\ge 0.
Interpretação: o comprimento cresce linearmente com t, com razão \sqrt{5} unidades de comprimento por unidade de parâmetro.
Passo 8
Responder o item (b): queremos o ponto alcançado ao andar uma distância L=\sqrt{5}\,\pi a partir do ponto inicial. Usamos s(t)=\sqrt{5}\,t e resolvemos