Considere a função f(x)=e^{x}.
(a) Encontre a sua função curvatura;
(b) O que acontece com a curvatura quando x \rightarrow \infty ? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x} e pede duas coisas:
  • (a) Encontrar a função curvatura da curva y=f(x)=e^{x}.
  • (b) Dizer o que acontece com a curvatura quando x \rightarrow \infty e justificar essa resposta.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=e^{x}.
  • Não há restrição no domínio: x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vou lembrar qual fórmula usar para a curvatura de uma curva descrita como gráfico y=y(x). A curvatura \kappa(x) mede o quanto a direção da tangente está mudando por unidade de comprimento de arco; para o gráfico de uma função y(x) a fórmula padrão é
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^2\bigr)^{3/2}}.
Explicando os símbolos:
  • y'(x) é a derivada primeira de y; representa a inclinação (a tangente) da curva em x.
  • y''(x) é a derivada segunda; mede a taxa de variação da inclinação (ou seja, a “curvatura local” sem o ajuste por comprimento de arco).
  • O denominador \bigl(1+(y')^2\bigr)^{3/2} ajusta essa taxa pelo efeito da parametrização pelo eixo x e pelo comprimento de arco, transformando y'' numa medida geométrica de curvatura.

Passo 3

Calcular as derivadas de y(x)=e^{x}. A função exponencial tem derivadas iguais a ela mesma:
y'(x)=e^{x},\qquad y''(x)=e^{x}.
Vou explicar rapidamente: a derivada de e^{x} é e^{x} porque a taxa de variação da exponencial é proporcional ao próprio valor; isso é uma propriedade fundamental de e^{x}.

Passo 4

Substituir y' e y'' na fórmula da curvatura:
\kappa(x)=\frac{|e^{x}|}{\bigl(1+(e^{x})^2\bigr)^{3/2}}.
Como e^{x}>0 para todo x, podemos tirar o valor absoluto:
\kappa(x)=\frac{e^{x}}{\bigl(1+e^{2x}\bigr)^{3/2}}.

Passo 5

Para estudar o comportamento quando x\to\infty é útil reescrever \kappa(x) de uma forma que destaque termos pequenos. Fatore e^{2x} dentro do parêntese do denominador:
1+e^{2x}=e^{2x}\bigl(e^{-2x}+1\bigr),
portanto
\bigl(1+e^{2x}\bigr)^{3/2}=e^{3x}\bigl(e^{-2x}+1\bigr)^{3/2}.
Substituindo na expressão da curvatura:
\kappa(x)=\frac{e^{x}}{e^{3x}\bigl(e^{-2x}+1\bigr)^{3/2}} = \frac{e^{-2x}}{\bigl(e^{-2x}+1\bigr)^{3/2}}.

Passo 6

Agora tome o limite quando x\to\infty. Note que e^{-2x}\to 0 quando x\to\infty. Então
\lim_{x\to\infty}\kappa(x) = \lim_{x\to\infty}\frac{e^{-2x}}{\bigl(e^{-2x}+1\bigr)^{3/2}} = \frac{0}{1^{3/2}}=0.
Uma interpretação prática: apesar da inclinação y'(x)=e^{x} crescer muito, a curvatura envolve y'' dividida por (1+(y')^2)^{3/2} — quando y' é grande o denominador cresce mais rápido (como e^{3x} na forma anterior) do que o numerador y'' (que cresce como e^{x}), fazendo com que a curvatura decaia como aproximadamente e^{-2x}. Em outras palavras, a curva fica muito íngreme, mas localmente tende a “não dobrar” (curvatura pequena) ao avançar para a direita.

Passo 7

Resumo final e incentivo: a conta é curta e elegante — a curvatura fica pequena rapidamente para x grande. Se estiver nervoso na prova, decore a fórmula da curvatura do gráfico e lembre que para e^{x} as derivadas são iguais, o que simplifica bastante.

Resposta

(a) \displaystyle \kappa(x)=\frac{e^{x}}{\bigl(1+e^{2x}\bigr)^{3/2}}.
(b) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\kappa(x)=0.

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