Considere a função
.
(a) Encontre a sua função curvatura;
(b) O que acontece com a curvatura quando
? Justifique sua resposta!
(a) Encontre a sua função curvatura;
(b) O que acontece com a curvatura quando
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Encontrar a função curvatura da curva
. - (b) Dizer o que acontece com a curvatura quando
e justificar essa resposta.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Não há restrição no domínio:
.
Passo 2
Vou lembrar qual fórmula usar para a curvatura de uma curva descrita como gráfico
. A curvatura
mede o quanto a direção da tangente está mudando por unidade de comprimento de arco; para o gráfico de uma função
a fórmula padrão é
Explicando os símbolos:
-
é a derivada primeira de ; representa a inclinação (a tangente) da curva em . -
é a derivada segunda; mede a taxa de variação da inclinação (ou seja, a “curvatura local” sem o ajuste por comprimento de arco). - O denominador
ajusta essa taxa pelo efeito da parametrização pelo eixo e pelo comprimento de arco, transformando numa medida geométrica de curvatura.
Passo 3
Calcular as derivadas de
. A função exponencial tem derivadas iguais a ela mesma:
Vou explicar rapidamente: a derivada de
é
porque a taxa de variação da exponencial é proporcional ao próprio valor; isso é uma propriedade fundamental de
.
Passo 4
Substituir
e
na fórmula da curvatura:
Como
para todo
, podemos tirar o valor absoluto:
Passo 5
Para estudar o comportamento quando
é útil reescrever
de uma forma que destaque termos pequenos. Fatore
dentro do parêntese do denominador:
portanto
Substituindo na expressão da curvatura:
Passo 6
Agora tome o limite quando
. Note que
quando
. Então
Uma interpretação prática: apesar da inclinação
crescer muito, a curvatura envolve
dividida por
— quando
é grande o denominador cresce mais rápido (como
na forma anterior) do que o numerador
(que cresce como
), fazendo com que a curvatura decaia como aproximadamente
. Em outras palavras, a curva fica muito íngreme, mas localmente tende a “não dobrar” (curvatura pequena) ao avançar para a direita.
Passo 7
Resumo final e incentivo: a conta é curta e elegante — a curvatura fica pequena rapidamente para
grande. Se estiver nervoso na prova, decore a fórmula da curvatura do gráfico e lembre que para
as derivadas são iguais, o que simplifica bastante.
Resposta
(a)
(b)
(b)