Encontre uma função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção entre as superfícies
e
. Responda: Esśa curva passa pelo ponto
? Justifique sua resposta!
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
- O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar uma função vetorial que descreva a curva obtida pela interseção das superfícies.
- Verificar se a curva passa pelo ponto
e justificar a resposta.
- As informações dadas (as duas superfícies) são:
-
. -
.
-
Passo 2
Entender geometricamente as condições: a primeira equação
descreve um cilindro circular de raio
cujo eixo é o eixo
. A interseção com a outra superfície será uma curva que fica “sobre” esse cilindro, ou seja, tem sempre
com
. Para descrever uma curva no espaço, usamos uma função vetorial
que dá as coordenadas
em função de um parâmetro
. A ideia: parametrizar a circunferência
no plano
e então usar a segunda equação para obter
.
Passo 3
Como parametrizar uma circunferência de raio
? A parametrização padrão (polares) é
com
variando em um intervalo de comprimento
, por exemplo
. Explicando por que isto funciona: para qualquer
,
portanto a condição
fica satisfeita automaticamente.
Passo 4
Agora usar a segunda superfície
. Como já sabemos que
ao longo da curva, essa fórmula simplifica para
Substituindo a parametrização de
obtida no passo anterior, temos
Portanto todas as coordenadas em função de
são:
Passo 5
Escrever a função vetorial final. Usando a notação de vetor,
Comentário didático: isso descreve a curva no espaço obtida ao “subir” sobre a circunferência de raio
uma altura
que depende linearmente de
. A função vetorial dá posição em cada
; varrendo
de
a
percorre-se a curva uma vez.
Passo 6
Verificar se o ponto
pertence à curva. Método direto: qualquer ponto da curva satisfaz as duas equações originais. Para o ponto dado, calculemos
logo o ponto satisfaz a primeira superfície (está sobre o cilindro). Agora verifiquemos a segunda: para o ponto dado o lado direito da segunda equação é
Isso significa que, se o ponto pertence à interseção, sua coordenada
deveria ser
. Mas no ponto dado a coordenada
é
. Como
o ponto não satisfaz a segunda equação simultaneamente; portanto não pertence à interseção. Alternativa usando a parametrização: se
então
, e então
. Mesma conclusão.
Resposta
Não. Substituindo