Encontre uma função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção entre as superfícies x^{2}+y^{2}=4 e z=x^{2}+y^{2}+x. Responda: Esśa curva passa pelo ponto (\sqrt{2},-\sqrt{2}, 4) ? Justifique sua resposta!

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Encontrar uma função vetorial que descreva a curva obtida pela interseção das superfícies.
    2. Verificar se a curva passa pelo ponto \left(\sqrt{2},-\sqrt{2},4\right) e justificar a resposta.
  • As informações dadas (as duas superfícies) são:
    • \displaystyle x^{2}+y^{2}=4.
    • \displaystyle z=x^{2}+y^{2}+x.

Passo 2

Entender geometricamente as condições: a primeira equação \displaystyle x^{2}+y^{2}=4 descreve um cilindro circular de raio 2 cujo eixo é o eixo z. A interseção com a outra superfície será uma curva que fica “sobre” esse cilindro, ou seja, tem sempre (x,y) com x^{2}+y^{2}=4. Para descrever uma curva no espaço, usamos uma função vetorial \mathbf{r}(t) que dá as coordenadas (x(t),y(t),z(t)) em função de um parâmetro t. A ideia: parametrizar a circunferência x^{2}+y^{2}=4 no plano xy e então usar a segunda equação para obter z(t).

Passo 3

Como parametrizar uma circunferência de raio 2? A parametrização padrão (polares) é
x=2\cos t,\qquad y=2\sin t,
com t variando em um intervalo de comprimento 2\pi, por exemplo t\in[0,2\pi). Explicando por que isto funciona: para qualquer t,
x^{2}+y^{2}=(2\cos t)^{2}+(2\sin t)^{2}=4(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=4,
portanto a condição x^{2}+y^{2}=4 fica satisfeita automaticamente.

Passo 4

Agora usar a segunda superfície \displaystyle z=x^{2}+y^{2}+x. Como já sabemos que x^{2}+y^{2}=4 ao longo da curva, essa fórmula simplifica para
z=4+x.
Substituindo a parametrização de x obtida no passo anterior, temos
z(t)=4+x(t)=4+2\cos t.
Portanto todas as coordenadas em função de t são:
x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=2\sin t,\qquad z(t)=4+2\cos t.

Passo 5

Escrever a função vetorial final. Usando a notação de vetor,
\mathbf{r}(t)=\langle 2\cos t,\;2\sin t,\;4+2\cos t\rangle,\qquad t\in[0,2\pi).
Comentário didático: isso descreve a curva no espaço obtida ao “subir” sobre a circunferência de raio 2 uma altura z que depende linearmente de \cos t. A função vetorial dá posição em cada t; varrendo t de 0 a 2\pi percorre-se a curva uma vez.

Passo 6

Verificar se o ponto \left(\sqrt{2},-\sqrt{2},4\right) pertence à curva. Método direto: qualquer ponto da curva satisfaz as duas equações originais. Para o ponto dado, calculemos
x^{2}+y^{2}=(\sqrt{2})^{2}+(-\sqrt{2})^{2}=2+2=4,
logo o ponto satisfaz a primeira superfície (está sobre o cilindro). Agora verifiquemos a segunda: para o ponto dado o lado direito da segunda equação é
x^{2}+y^{2}+x = 4 + \sqrt{2}.
Isso significa que, se o ponto pertence à interseção, sua coordenada z deveria ser 4+\sqrt{2}. Mas no ponto dado a coordenada z é 4. Como
4+\sqrt{2}\neq 4,
o ponto não satisfaz a segunda equação simultaneamente; portanto não pertence à interseção. Alternativa usando a parametrização: se x=\sqrt{2} então \cos t=\dfrac{x}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, e então z=4+2\cos t=4+2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4+\sqrt{2}\neq4. Mesma conclusão.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(t)=\langle 2\cos t,\;2\sin t,\;4+2\cos t\rangle,\; t\in[0,2\pi)
Não. Substituindo x=\sqrt{2} e y=-\sqrt{2} obtém-se z=4+\sqrt{2}\neq4, logo \left(\sqrt{2},-\sqrt{2},4\right) não pertence à curva.

Exercícios relacionados