Uma v.a
tem distribuição normal com méda 10 e desvio padrão 4. Aos participantes de um jogo é permitido observar uma amostra de qualquer tamanho e calcular a média amostral. Ganha um prêmio aquele cuja média amostral for maior que 12.
a) Se um participante escolher uma amostra de tamanho 16, qual é a probabilidade de ele ganhar um prêmio?
b) Escolha um tamanho de amostra diferente de 16, qual é a probabilidade de ele ganhar um prêmio? Sugestão: Usar amostras de tamanho
c) Baseado nos resultados acima, qual o melhor tamanho de amostra para participar do jogo?
a) Se um participante escolher uma amostra de tamanho 16, qual é a probabilidade de ele ganhar um prêmio?
b) Escolha um tamanho de amostra diferente de 16, qual é a probabilidade de ele ganhar um prêmio? Sugestão: Usar amostras de tamanho
c) Baseado nos resultados acima, qual o melhor tamanho de amostra para participar do jogo?
Passo 1
O enunciado diz que
é normal com média
e desvio padrão
. Um participante escolhe amostra de tamanho
e computa a média amostral
. Ganha o prêmio se
. O conteúdo aqui é a distribuição da média amostral de uma variável normal, que é
Passo 2
Em geral, para amostra de tamanho
,
onde
é a função de distribuição normal padrão.
Passo 3
Caso
, temos
e
então
Passo 4
Para
, calculamos
e
:
n
:
,
.
n :
,
.
n :
,
.
n :
,
.
n :
,
.
n :
,
.
n :
,
.
n :
,
.
n :
,
.
n :
,
.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Passo 5
Observamos que
decresce conforme
aumenta, porque a variância da média diminui e a cauda direita fixa em 12 fica menos provável. O valor de
é maior para
.
Resposta
a)
.
b) Usando , as probabilidades são aproximadamente
n :
;
n :
;
n :
;
n :
;
n :
;
n :
;
n :
;
n :
;
n :
;
n :
.
c) O melhor tamanho para maximizar a chance de é
.
b) Usando
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c) O melhor tamanho para maximizar a chance de