Uma v.a X tem distribuição normal com méda 10 e desvio padrão 4. Aos participantes de um jogo é permitido observar uma amostra de qualquer tamanho e calcular a média amostral. Ganha um prêmio aquele cuja média amostral for maior que 12.
a) Se um participante escolher uma amostra de tamanho 16, qual é a probabilidade de ele ganhar um prêmio?
b) Escolha um tamanho de amostra diferente de 16, qual é a probabilidade de ele ganhar um prêmio? Sugestão: Usar amostras de tamanho 1,2,3, \ldots, 10
c) Baseado nos resultados acima, qual o melhor tamanho de amostra para participar do jogo?

Passo 1

O enunciado diz que X é normal com média \mu=10 e desvio padrão \sigma=4. Um participante escolhe amostra de tamanho n e computa a média amostral \bar X. Ganha o prêmio se \bar X>12. O conteúdo aqui é a distribuição da média amostral de uma variável normal, que é
\bar X \sim N\!\bigl(\mu,\;\sigma/\sqrt{n}\bigr).

Passo 2

Em geral, para amostra de tamanho n,
P\bigl(\bar X>12\bigr) =1-\Phi\!\Bigl(\frac{12-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\Bigr) =1-\Phi\!\Bigl(\frac{12-10}{4/\sqrt{n}}\Bigr) =1-\Phi\!\Bigl(\frac{2\sqrt{n}}{4}\Bigr) =1-\Phi\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{n}}{2}\Bigr),
onde \Phi é a função de distribuição normal padrão.

Passo 3

Caso n=16, temos \sqrt{16}=4 e
\tfrac{\sqrt{16}}{2}=2,
então
P(\bar X>12) =1-\Phi(2) \approx1-0{,}97725 =0{,}02275.

Passo 4

Para n=1,2,\dots,10, calculamos z=\tfrac{\sqrt{n}}{2} e P=1-\Phi(z):
n =1: z=0{,}5, P\approx1-0{,}69146=0{,}30854.
n =2: z\approx0{,}7071, P\approx1-0{,}76025=0{,}23975.
n =3: z\approx0{,}8660, P\approx1-0{,}80778=0{,}19222.
n =4: z=1, P\approx1-0{,}84134=0{,}15866.
n =5: z\approx1{,}1180, P\approx1-0{,}86864=0{,}13136.
n =6: z\approx1{,}2247, P\approx1-0{,}88972=0{,}11028.
n =7: z\approx1{,}3229, P\approx1-0{,}90656=0{,}09344.
n =8: z\approx1{,}4142, P\approx1-0{,}92135=0{,}07865.
n =9: z=1{,}5, P\approx1-0{,}93319=0{,}06681.
n =10: z\approx1{,}5811, P\approx1-0{,}94313=0{,}05687.

Passo 5

Observamos que P(\bar X>12) decresce conforme n aumenta, porque a variância da média diminui e a cauda direita fixa em 12 fica menos provável. O valor de P é maior para n=1.

Resposta

a) P(\bar X>12\mid n=16)\approx0{,}02275.
b) Usando n=1,\dots,10, as probabilidades são aproximadamente
n =1: 0{,}3085;
n =2: 0{,}2398;
n =3: 0{,}1922;
n =4: 0{,}1587;
n =5: 0{,}1314;
n =6: 0{,}1103;
n =7: 0{,}0934;
n =8: 0{,}0787;
n =9: 0{,}0668;
n =10: 0{,}0569.
c) O melhor tamanho para maximizar a chance de \bar X>12 é n=1.

Exercícios relacionados