Questão 4 ( 2,0 pontos). Scja
uma v.a com a scguinte função geradora dos momentos:
Calcule
c
.
Passo 1
O enunciado dá a função geradora dos momentos
com a definição
. Pede-se calcular
e
. As informações relevantes são portanto: a expressão de
e a relação entre
e
. Nada mais é necessário.
Passo 2
Vamos recordar a ferramenta que usamos aqui (isto é teoria útil e curta): a função geradora de momentos
tem a propriedade
e
Isto vem do fato de que as derivadas de
em zero fornecem os momentos da v.a. (a primeira derivada em zero dá o primeiro momento, etc.). Para obter
e
precisaremos usar regras básicas de derivação: regra do quociente, regra do produto e regra da cadeia. Vou aplicar essas regras passo a passo.
Para simplificar a escrita, defino
Assim podemos reescrever
Passo 3
Calculemos
usando a regra do quociente. Definindo
e
temos
e
. A regra do quociente dá
Agora simplifico o numerador:
Logo
Passo 4
Agora derivamos
para obter
. Escrevendo
usamos a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada é
O segundo termo simplifica porque os sinais negativos se cancelam:
Passo 5
Agora avaliamos em
. Lembre que
. Primeiro observe que
. Usando isso,
E
Passo 6
Calculemos a variância usando
. Substituindo os valores:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Como
, temos
. Portanto
Passo 7
Voltando às letras originais,
e
. Logo os resultados em termos de
são
Finalmente, como o enunciado deu
, substituímos
para expressar em termos de
:
Se quiser, dá para conferir numericamente com um
qualquer; por exemplo para
obtemos
e
, que bate com a fórmula.