Questão 4 ( 2,0 pontos). Scja X uma v.a com a scguinte função geradora dos momentos:
M_{X}(t)=\frac{q e^{t}}{1-(1-q) e^{t}} \quad q=(1-p)
Calcule \mathrm{E}(\mathrm{X}) c \operatorname{Var}(\mathrm{X}).

Passo 1

O enunciado dá a função geradora dos momentos
M_{X}(t)=\frac{q e^{t}}{1-(1-q) e^{t}}
com a definição q=(1-p). Pede-se calcular \mathrm{E}(X) e \operatorname{Var}(X). As informações relevantes são portanto: a expressão de M_{X}(t) e a relação entre q e p. Nada mais é necessário.

Passo 2

Vamos recordar a ferramenta que usamos aqui (isto é teoria útil e curta): a função geradora de momentos M_X(t) tem a propriedade
\mathrm{E}(X)=M_X'(0)
e
\operatorname{Var}(X)=M_X''(0)-\big(M_X'(0)\big)^2.
Isto vem do fato de que as derivadas de M_X em zero fornecem os momentos da v.a. (a primeira derivada em zero dá o primeiro momento, etc.). Para obter M_X'(t) e M_X''(t) precisaremos usar regras básicas de derivação: regra do quociente, regra do produto e regra da cadeia. Vou aplicar essas regras passo a passo.
Para simplificar a escrita, defino
a:=q,\qquad b:=1-q.
Assim podemos reescrever
M_X(t)=\frac{a e^{t}}{1-b e^{t}}.

Passo 3

Calculemos M_X'(t) usando a regra do quociente. Definindo N(t)=a e^{t} e D(t)=1-b e^{t} temos N'(t)=a e^{t} e D'(t)=-b e^{t}. A regra do quociente dá
M_X'(t)=\frac{N'(t)D(t)-N(t)D'(t)}{D(t)^2} =\frac{a e^{t}\big(1-b e^{t}\big)-a e^{t}\big(-b e^{t}\big)}{\big(1-b e^{t}\big)^2}.
Agora simplifico o numerador:
a e^{t}\big(1-b e^{t}\big)-a e^{t}\big(-b e^{t}\big) =a e^{t}\big(1-b e^{t}+b e^{t}\big)=a e^{t}.
Logo
M_X'(t)=\frac{a e^{t}}{\big(1-b e^{t}\big)^2}.

Passo 4

Agora derivamos M_X'(t) para obter M_X''(t). Escrevendo M_X'(t)=a e^{t}\big(1-b e^{t}\big)^{-2} usamos a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada é
M_X''(t)=a e^{t}\big(1-b e^{t}\big)^{-2} + a e^{t}\cdot(-2)\big(1-b e^{t}\big)^{-3}\cdot(-b e^{t}).
O segundo termo simplifica porque os sinais negativos se cancelam:
M_X''(t)=\frac{a e^{t}}{\big(1-b e^{t}\big)^2}+\frac{2ab e^{2t}}{\big(1-b e^{t}\big)^3}.

Passo 5

Agora avaliamos em t=0. Lembre que e^{0}=1. Primeiro observe que 1-b=1-(1-q)=q=a. Usando isso,
M_X'(0)=\frac{a\cdot 1}{(1-b\cdot 1)^2}=\frac{a}{(1-b)^2}=\frac{a}{a^2}=\frac{1}{a}.
E
M_X''(0)=\frac{a}{(1-b)^2}+\frac{2ab}{(1-b)^3} =\frac{1}{a}+\frac{2b}{a^2}.

Passo 6

Calculemos a variância usando \operatorname{Var}(X)=M_X''(0)-\big(M_X'(0)\big)^2. Substituindo os valores:
\operatorname{Var}(X)=\left(\frac{1}{a}+\frac{2b}{a^2}\right)-\left(\frac{1}{a}\right)^2 =\frac{1}{a}+\frac{2b}{a^2}-\frac{1}{a^2}.
Colocando sobre o mesmo denominador a^2:
\operatorname{Var}(X)=\frac{a}{a^2}+\frac{2b}{a^2}-\frac{1}{a^2} =\frac{a+2b-1}{a^2}.
Como b=1-a, temos a+2b-1=a+2(1-a)-1=1-a. Portanto
\operatorname{Var}(X)=\frac{1-a}{a^2}=\frac{b}{a^2}.

Passo 7

Voltando às letras originais, a=q e b=1-q. Logo os resultados em termos de q são
\mathrm{E}(X)=\frac{1}{q},\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{1-q}{q^2}.
Finalmente, como o enunciado deu q=(1-p), substituímos q=1-p para expressar em termos de p:
\mathrm{E}(X)=\frac{1}{1-p},\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{p}{(1-p)^2}.
Se quiser, dá para conferir numericamente com um p qualquer; por exemplo para p=\tfrac{1}{2} obtemos \mathrm{E}(X)=2 e \operatorname{Var}(X)=2, que bate com a fórmula.

Resposta

\mathrm{E}(X)=\dfrac{1}{1-p}
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{p}{(1-p)^{2}}

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