Suponha que a proporção de peças fora da especificação em um lote é de 40 \%. Tomada uma amostra de tamanho 30, a probabilidade desta amostra fornecer uma proporção de peças defeituosas menor do que 0.50 pode ser calculada de forma exata pelo modelo Binomial. Faça isso e depois compare com o resultado obtido usando a aproximação pelo modelo normal.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (sem resolver ainda):
  • A proporção verdadeira de peças fora da especificação é \,p=0,4.
  • O tamanho da amostra é \,n=30.
  • A variável de interesse é a proporção amostral de defeituosos, isto é \,\hat{p}=X/n, onde X é o número de peças defeituosas na amostra.
    O pedido:
  • Calcular a probabilidade exata (modelo binomial) de que a proporção amostral seja menor do que 0,50.
  • Calcular a aproximação usando o modelo normal e comparar com o valor exato.
Informações relevantes que vou usar:
  • X\sim\operatorname{Bin}(n=30,p=0,4).
  • A condição “ \hat{p}<0,50” é equivalente a X/30<0,5, isto é X<15. Como X é inteiro, isso equivale a X\le 14.
  • Portanto a probabilidade pedida é \,P(X\le 14).

Passo 2

Explicando o modelo binomial (aula rápida e prática).
  • O modelo binomial descreve o número de sucessos X em n ensaios independentes, cada um com probabilidade de sucesso p.
  • A função massa de probabilidade (pmf) é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k sucessos entre n ensaios).
  • No nosso caso, n=30 e p=0,4. Então a probabilidade exata pedida é a soma
P(X\le 14)=\sum_{k=0}^{14} \binom{30}{k} (0,4)^{k} (0,6)^{30-k}.
Isso é a forma exata. Em prova, é suficiente escrever essa soma; mas como você pediu o valor numérico, vamos calcular.

Passo 3

Como calcular numericamente de forma manual e confiável (truque prático).
  • Calcular todos os termos diretamente pode ser trabalhoso; um método prático é usar a relação recursiva entre probabilidades adjacentes:
\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}.
  • No nosso caso \dfrac{p}{1-p}=\dfrac{0,4}{0,6}=\dfrac{2}{3}.
  • Começamos por P(X=0)=(0,6)^{30}. Vou calcular com precisão prática:
P(0)=(0,6)^{30}\approx 0,0000002210786.
  • Aplicando a relação recursiva gera-se P(1),P(2),\dots,P(14). Vou mostrar os valores obtidos (arredondados com 6–7 casas significativas para manter precisão razoável):
\begin{aligned} P(0)&\approx 0,0000002210786,\\\ P(1)&\approx 0,000004421572,\\\ P(2)&\approx 0,00004276323,\\\ P(3)&\approx 0,0002668816,\\\ P(4)&\approx 0,001200967,\\\ P(5)&\approx 0,004163351,\\\ P(6)&\approx 0,011564864,\\\ P(7)&\approx 0,026435800,\\\ P(8)&\approx 0,050670000,\\\ P(9)&\approx 0,082578000,\\\ P(10)&\approx 0,115609000,\\\ P(11)&\approx 0,140669000,\\\ P(12)&\approx 0,148825000,\\\ P(13)&\approx 0,137333000,\\\ P(14)&\approx 0,111176000. \end{aligned}
(A justificativa: cada P(k+1) foi obtido multiplicando P(k) pelo fator \dfrac{30-k}{k+1}\cdot\dfrac{2}{3}. Esse método evita calcular grandes fatoriais.)

Passo 4

Somando os termos para obter a probabilidade exata.
  • Agora somo os termos P(0)+P(1)+\cdots+P(14). Fazendo a soma com as aproximações acima:
P(X\le14)\approx 0,830539\dots
(Arredondando de forma conveniente, P(X\le14)\approx 0,8305.)

Passo 5

Aproximação pelo modelo normal (aula prática).
  • Para X\sim\operatorname{Bin}(n,p) com n grande, pode-se aproximar por Y\sim N(\mu,\sigma^2) com
\mu=np,\qquad \sigma^2=np(1-p).
  • Aqui \mu=np=30\cdot0,4=12 e \sigma^2=30\cdot0,4\cdot0,6=7,2. Logo \sigma=\sqrt{7,2}\approx 2,6832816.
  • Como queremos P(X\le14), usa-se correção de continuidade (importante para melhorar a aproximação): aproximamos
P(X\le14)\approx P\bigl(Y\le 14{,}5\bigr).
  • Calcule o escore-z:
z=\frac{14{,}5-\mu}{\sigma}=\frac{14{,}5-12}{\sqrt{7,2}}=\frac{2{,}5}{2{,}6832816}\approx 0{,}931.
  • A função de distribuição normal padrão \Phi(z) para z\approx 0{,}931 vale aproximadamente 0{,}8240 (já que \Phi(0{,}93)\approx 0{,}8238 e \Phi(0{,}94)\approx 0{,}8264, interpolando obtemos 0{,}8240).
  • Assim a aproximação normal com correção de continuidade dá aproximadamente 0{,}8240.

Passo 6

Comparação e interpretação (o que isso significa na prova).
  • Probabilidade exata (binomial): \approx 0{,}8305.
  • Aproximação normal com correção de continuidade: \approx 0{,}8240.
  • Diferença absoluta: aproximadamente 0{,}0065 (menos de 1\% em termos relativos). Isso mostra que a aproximação normal com correção de continuidade está bem razoável aqui — por que? porque np=12 e n(1-p)=18 são ambos maiores que 5, condição prática que torna a aproximação aceitável.
  • Observação didática: sem a correção de continuidade (usando P(Y\le 14) diretamente) a aproximação piora; por isso, na prova, sempre use correção de continuidade quando aproximar uma soma discreta pela normal.

Resposta

Probabilidade exata (Binomial): 0,8305 \
Aproximação normal (com correção de continuidade): 0,8240

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