Suponha que a proporção de peças fora da especificação em um lote é de
. Tomada uma amostra de tamanho 30, a probabilidade desta amostra fornecer uma proporção de peças defeituosas menor do que 0.50 pode ser calculada de forma exata pelo modelo Binomial. Faça isso e depois compare com o resultado obtido usando a aproximação pelo modelo normal.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (sem resolver ainda):
- A proporção verdadeira de peças fora da especificação é
. - O tamanho da amostra é
. - A variável de interesse é a proporção amostral de defeituosos, isto é
, onde é o número de peças defeituosas na amostra.
O pedido: - Calcular a probabilidade exata (modelo binomial) de que a proporção amostral seja menor do que
. - Calcular a aproximação usando o modelo normal e comparar com o valor exato.
Informações relevantes que vou usar:
-
. - A condição “
” é equivalente a , isto é . Como é inteiro, isso equivale a . - Portanto a probabilidade pedida é
.
Passo 2
Explicando o modelo binomial (aula rápida e prática).
- O modelo binomial descreve o número de sucessos
em ensaios independentes, cada um com probabilidade de sucesso . - A função massa de probabilidade (pmf) é
onde
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher
sucessos entre
ensaios).
- No nosso caso,
e . Então a probabilidade exata pedida é a soma
Isso é a forma exata. Em prova, é suficiente escrever essa soma; mas como você pediu o valor numérico, vamos calcular.
Passo 3
Como calcular numericamente de forma manual e confiável (truque prático).
- Calcular todos os termos diretamente pode ser trabalhoso; um método prático é usar a relação recursiva entre probabilidades adjacentes:
- No nosso caso
. - Começamos por
. Vou calcular com precisão prática:
- Aplicando a relação recursiva gera-se
. Vou mostrar os valores obtidos (arredondados com 6–7 casas significativas para manter precisão razoável):
(A justificativa: cada
foi obtido multiplicando
pelo fator
. Esse método evita calcular grandes fatoriais.)
Passo 4
Somando os termos para obter a probabilidade exata.
- Agora somo os termos
. Fazendo a soma com as aproximações acima:
(Arredondando de forma conveniente,
.)
Passo 5
Aproximação pelo modelo normal (aula prática).
- Para
com grande, pode-se aproximar por com
- Aqui
e . Logo . - Como queremos
, usa-se correção de continuidade (importante para melhorar a aproximação): aproximamos
- Calcule o escore-z:
- A função de distribuição normal padrão
para vale aproximadamente (já que e , interpolando obtemos ). - Assim a aproximação normal com correção de continuidade dá aproximadamente
.
Passo 6
Comparação e interpretação (o que isso significa na prova).
- Probabilidade exata (binomial):
. - Aproximação normal com correção de continuidade:
. - Diferença absoluta: aproximadamente
(menos de em termos relativos). Isso mostra que a aproximação normal com correção de continuidade está bem razoável aqui — por que? porque e são ambos maiores que 5, condição prática que torna a aproximação aceitável. - Observação didática: sem a correção de continuidade (usando
diretamente) a aproximação piora; por isso, na prova, sempre use correção de continuidade quando aproximar uma soma discreta pela normal.
Resposta
Probabilidade exata (Binomial):
\
Aproximação normal (com correção de continuidade):
Aproximação normal (com correção de continuidade):