Quais funções estatísticas do ambiente R você usaria para calcular a média e a variância dos conjuntos de dados abaixo. O que mudaria se estivéssemos com intensões de usar estes dados para estimar a média e a variância populacional, supondo agora que estes dados são amostras de uma população? Em outras palavras, que estatísticas amostrais(estimadores) você usaria? Justifique detalhadamente sua resposta. Produza as implementações discutidas no ambiente R.
283510997

Passo 1

O enunciado pede que eu indique quais funções do R usar para calcular a média e a variância dos dados fornecidos, explique o que mudaria se os dados forem tratados como uma amostra para estimar parâmetros populacionais (quais estatísticas/estimadores usar e por quê) e que eu mostre implementações em R.
Dado fornecido (interpretação necessária): a sequência textual foi “283510997”. Vou interpretar essa sequência como os nove valores individuais (cada dígito é uma observação). Ou seja, os dados são:
x = \{2,\,8,\,3,\,5,\,1,\,0,\,9,\,9,\,7\}.
As perguntas que vou responder:
  • Quais funções do R usar para calcular média e variância desses dados?
  • Se o objetivo for estimar a média e a variância populacional a partir desta amostra, quais estimadores usar (e por quê)?
  • Mostrar implementações em R que calculam as estatísticas discutidas.

Passo 2

Cálculo da média amostral passo a passo (fórmula e aplicação aos dados).
Definição: a média amostral \bar{x} de uma amostra com n observações x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,
onde n é o tamanho da amostra e cada x_i é uma observação. Aqui:
n=9.
Soma das observações:
\sum_{i=1}^9 x_i = 2+8+3+5+1+0+9+9+7 = 44.
Logo
\bar{x}=\frac{44}{9} \approx 4,8888889.
Interpretação curta: \bar{x} é o valor médio observado; é o estimador natural da média populacional \mu e é não-viesado (esperança \mathbb{E}[\bar{x}]=\mu).

Passo 3

Cálculo da variância: diferenças entre variância amostral (não viesada) e estimador por máxima verossimilhança (MLE). Vou calcular ambas passo a passo.
Fórmulas:
  • Variância amostral não viesada (estimador clássico):
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^{2}.
  • Estimador MLE para a variância (assumindo normalidade) — divide por n:
\hat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^{2}.
Cálculo prático (mostrando os desvios ao quadrado; usei \bar{x}=44/9):
Para cada x_i calculei (x_i-\bar{x})^2. Os valores (exatos como frações) deram soma total
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^{2} = \frac{8010}{81} = 98{,}8888888889.
Agora:
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^{2}=\frac{98{,}8888888889}{8}=12{,}3611111111.
\hat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^{2}=\frac{98{,}8888888889}{9}=10{,}9876543210.
Ou seja:
  • média amostral \bar{x} \approx 4{,}8888889,
  • variância amostral (não viesada) s^{2} \approx 12{,}3611111,
  • variância MLE \hat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}} \approx 10{,}9876543.

Passo 4

Interpretação estatística e justificativa de qual estimador usar na prática
  • Para a média populacional \mu: o estimador natural é a média amostral \bar{x}. Propriedades importantes: é não-viesada ( \mathbb{E}[\bar{x}]=\mu), consistente (converge em probabilidade para \mu quando n\to\infty) e eficiente entre estimadores lineares sob muitas condições. Conclusão: usar \bar{x} para estimar \mu.
  • Para a variância populacional \sigma^{2}: há duas opções comuns
    1. O estimador não viesado s^{2} com denominação n-1. Vantagem: \mathbb{E}[s^{2}]=\sigma^{2} (não viesado). Por isso é o estimador clássico em estatística descritiva e em muitos contextos de inferência (ex.: construção de intervalos de confiança usando t-student).
    2. O estimador por máxima verossimilhança (dividindo por n), \hat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}. Vantagem: é o MLE se a distribuição for normal; pode ter menor erro quadrático médio (MSE) em alguns casos, apesar de ser viesado (tende a subestimar em pequenas amostras). Conclusão prática: se o objetivo for obter uma estimativa não viesada para \sigma^{2} (por exemplo, relatar a variância populacional estimada), use s^{2} (denominação n-1); se o objetivo for trabalhar com verossimilhança/modelos normais, pode-se preferir o MLE com denominação n, mas é preciso estar consciente do viés.

Passo 5

Erro padrão da média (útil para inferência rápida)
Fórmula do erro padrão (usando a variância amostral não viesada):
\text{SE}(\bar{x})=\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}.
Com os números:
\text{SE}(\bar{x})=\sqrt{\frac{12{,}3611111111}{9}}\approx 1{,}172.
Interpretação: estima a variabilidade de \bar{x} como estimador de \mu. Para construir intervalo de confiança ao nível usual com n pequeno usa-se t-de Student com n-1 graus de liberdade.

Passo 6

Quais funções do R usar (resumo prático)
  • Para a média: use a função base do R mean(x). Ela retorna \bar{x}.
  • Para a variância amostral (denominação n-1, não viesada): use var(x). Observação importante: var(x) no R calcula por definição
\texttt{var(x)} = \frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2,
ou seja, é exatamente s^{2} (o estimador não viesado).
  • Para a variância populacional (denominação n, MLE) no R não existe função base pronta; calcule explicitamente como
    mean((x-mean(x))^2) ou então var(x)*(length(x)-1)/length(x).

Passo 7

Implementações em R (código pronto e comentários com os resultados esperados)
# Definir os dados (assumi cada dígito como observação)
x <- c(2,8,3,5,1,0,9,9,7)

# Média amostral
mean_x <- mean(x)
mean_x
# Esperado: 44/9 = 4.8888889

# Variância amostral (não viesada, denom n-1) -- função base do R
var_x <- var(x)
var_x
# Esperado: s^2 ≈ 12.36111111

# Desvio padrão amostral
sd_x <- sd(x)
sd_x
# Esperado: sqrt(12.36111111) ≈ 3.5144

# Variância populacional (MLE) - divisão por n
pop_var1 <- mean((x - mean(x))^2)
pop_var1
# Esperado: ≈ 10.98765432

# Alternativa para variância populacional usando var()
pop_var2 <- var(x) * (length(x)-1) / length(x)
pop_var2
# Deve coincidir com pop_var1

# Erro padrão da média (usando s^2)
se_mean <- sqrt(var_x / length(x))
se_mean
# Esperado: ≈ 1.172

Passo 8

Recomendações práticas e conclusão amigável
  • Para relatórios e estatística descritiva: use mean(x) e var(x) (var usa denominação n-1). Isso é o mais comum e é consistente com a maioria dos testes e intervalos de confiança baseados em t.
  • Se estiver explicitamente a ajustar um modelo por máxima verossimilhança (por exemplo, estimar parâmetros de uma normal pelo método da verossimilhança), use a variância com denominação n (computada manualmente), mas mencione que é o MLE e que tende a ser viesado para amostras pequenas.
  • Não esqueça de reportar também o desvio padrão e o erro padrão da média quando for necessário comentar a precisão das estimativas.

Resposta

Funções R: utilizar mean(x) para a média e var(x) para a variância amostral (esta última usa denominação n-1).
Estimadores a usar para inferência populacional: média amostral \bar{x}=\dfrac{44}{9}\approx 4{,}8888889 e variância amostral não viesada s^{2}=\dfrac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^{2}\approx 12{,}3611111 (usar var(x)).
Se for preferível o estimador por máxima verossimilhança (caso de análise via verossimilhança normal), usar \hat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}=\dfrac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^{2}\approx 10{,}9876543 (calcular em R com mean((x-mean(x))^2)).

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