Seja
uma amostra aleatória simples de uma população
tal que
e
. Use o Teorema Central do Limite para mostrar que a distribuição de
converge para a distribuição normal com média
e variância
quando
. Use este resultado para explicar a aproximação da binomial por uma distribuição normal. Mais precisamente, justifique que a variável aleatória binomial com parâmetros
e
se aproxima de uma normal com média
e variância
quando
. Aplique estas ideias par obter a distribuição amostral da proporção.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Temos uma amostra aleatória simples
de uma população com -
, -
.
-
- Define-se a soma amostral
.
As perguntas que precisamos responder são:
- Mostrar, usando o Teorema Central do Limite, que a distribuição de
converge (quando ) para uma normal com média e variância . - Usar esse resultado para justificar a aproximação da distribuição binomial por uma normal com média
e variância . - Aplicar essas ideias para obter a distribuição amostral da proporção amostral
.
Dados relevantes listados:
-
são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.) com média e variância . -
. - Para a binomial, cada
é Bernoulli (isto será usado depois).
Passo 2
Estratégia clara (sem prova formal demais): padronizar a soma e aplicar o Teorema Central do Limite (TCL).
Defino a soma padronizada
Defino a soma padronizada
O objetivo é mostrar que
converge em distribuição para uma normal padrão
. Se conseguirmos isso, basta aplicar a transformação inversa para obter a aproximação para
.
Passo 3
Construção de variáveis centradas e com variância 1 (isso facilita a aplicação do TCL):
Defina
então cada
tem
e
. Observe que
Esta é exatamente a soma de
variáveis i.i.d. com média zero e variância
, escalada por
. O TCL clássico afirma que esta soma padronizada converge para
. Para que isso fique menos místico, mostro a ideia via funções geradoras de momentos (MGF), de forma didática.
Passo 4
O que é MGF e por que usá-la:
A função geradora de momentos de uma variável é
A função geradora de momentos de uma variável
quando existe num entorno de
. A MGF caracteriza a distribuição localmente: se as MGFs de
convergirem ponto a ponto para a MGF de uma normal padrão num intervalo ao redor de
, então
converge em distribuição para essa normal (esta é uma versão intuitiva do teorema de continuidade de Lévy para funções-geradoras).
Passo 5
Expansão em série da MGF (técnica chave, explicada passo a passo):
- Para
com e , a MGF pode ser expandida em série de Taylor em : porque e . Aqui significa termos que, quando divididos por , tendem a zero quando . - Agora calcule a MGF de
. Como os são independentes, - Use a expansão: para
pequeno, Tomando logaritmo, Para pequeno, . Assim Fazendo obtemos , ou seja - Como
é precisamente a MGF de uma normal padrão , concluímos que converge em distribuição para .
Comentário intuitivo: cada
tem contribuição pequena (ordem
), somam-se muitas contribuições independentes; após a escala
a soma tem variação finita e seu comportamento limite é gaussiano.
Passo 6
Voltar para
(transformação inversa):
Se
então, por propriedades de transformações lineares,
converge em distribuição para a normal com média
e variância
. Em notação de aproximação assintótica:
Passo 7
Aplicação à binomial (explicação passo a passo):
- Uma variável binomial
pode ser vista como soma de variáveis independentes , onde cada vale com probabilidade e com probabilidade . - Para cada
temos e . - Aplicando o resultado geral para somas,
- Observação prática importante: como a binomial é discreta, ao usar a normal para aproximar probabilidades pontuais ou acumuladas costuma-se usar a correção de continuidade: por exemplo
onde é a função de distribuição da normal padrão. A correção de continuidade melhora bastante a aproximação quando não é enorme. - Regras de polegar para a qualidade da aproximação: normalmente exige-se que
e sejam ambos razoavelmente grandes (por exemplo ou ).
Passo 8
Distribuição amostral da proporção
:
- A proporção amostral é
. - Usando a aproximação de
por uma normal, aplica-se a transformação linear: - Em termos padronizados,
- Isso é a base para construir intervalos de confiança e testes para a proporção: por exemplo um intervalo aproximado de
é onde é o quantil da normal padrão. (Aqui, ao construir o intervalo prático, costuma-se usar no lugar de na estimativa da variância.)
Passo 9
Resumo prático e condições de uso (um empurrão amigo):
- Resumo matemático:
Para a binomial: Para a proporção: - Boas práticas: verifique
e não muito pequenos; use correção de continuidade para probabilidades discretas se necessário; ao construir intervalos substitua por na estimativa da variância.