Seja X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} uma amostra aleatória simples de uma população X tal que E(X)=\mu e \operatorname{Var}(X)=\sigma^{2}. Use o Teorema Central do Limite para mostrar que a distribuição de S_{n}= \sum_{i} X_{i} converge para a distribuição normal com média n \mu e variância n \sigma^{2} quando n \rightarrow \infty. Use este resultado para explicar a aproximação da binomial por uma distribuição normal. Mais precisamente, justifique que a variável aleatória binomial com parâmetros n e p se aproxima de uma normal com média n p e variância n p(1-p) quando n \rightarrow \infty. Aplique estas ideias par obter a distribuição amostral da proporção.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Temos uma amostra aleatória simples X_{1},X_{2},\dots,X_{n} de uma população X com
    • E(X)=\mu,
    • \operatorname{Var}(X)=\sigma^{2}.
  • Define-se a soma amostral S_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}.
As perguntas que precisamos responder são:
  1. Mostrar, usando o Teorema Central do Limite, que a distribuição de S_{n} converge (quando n\to\infty) para uma normal com média n\mu e variância n\sigma^{2}.
  2. Usar esse resultado para justificar a aproximação da distribuição binomial por uma normal com média np e variância np(1-p).
  3. Aplicar essas ideias para obter a distribuição amostral da proporção amostral \widehat{p}.
Dados relevantes listados:
  • X_{1},\dots,X_{n} são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.) com média \mu e variância \sigma^{2}.
  • S_{n}=\sum_{i=1}^{n}X_{i}.
  • Para a binomial, cada X_i é Bernoulli (p) (isto será usado depois).

Passo 2

Estratégia clara (sem prova formal demais): padronizar a soma e aplicar o Teorema Central do Limite (TCL).
Defino a soma padronizada
Z_{n}=\frac{S_{n}-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}.
O objetivo é mostrar que Z_{n} converge em distribuição para uma normal padrão N(0,1). Se conseguirmos isso, basta aplicar a transformação inversa para obter a aproximação para S_{n}.

Passo 3

Construção de variáveis centradas e com variância 1 (isso facilita a aplicação do TCL):
Defina
Y_{i}=\frac{X_{i}-\mu}{\sigma},
então cada Y_{i} tem E(Y_{i})=0 e \operatorname{Var}(Y_{i})=1. Observe que
Z_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i}.
Esta é exatamente a soma de n variáveis i.i.d. com média zero e variância 1, escalada por 1/\sqrt{n}. O TCL clássico afirma que esta soma padronizada converge para N(0,1). Para que isso fique menos místico, mostro a ideia via funções geradoras de momentos (MGF), de forma didática.

Passo 4

O que é MGF e por que usá-la:
A função geradora de momentos de uma variável Y é
M_{Y}(t)=E\bigl(e^{tY}\bigr),
quando existe num entorno de t=0. A MGF caracteriza a distribuição localmente: se as MGFs de Z_{n} convergirem ponto a ponto para a MGF de uma normal padrão num intervalo ao redor de 0, então Z_{n} converge em distribuição para essa normal (esta é uma versão intuitiva do teorema de continuidade de Lévy para funções-geradoras).

Passo 5

Expansão em série da MGF (técnica chave, explicada passo a passo):
  • Para Y com E(Y)=0 e \operatorname{Var}(Y)=1, a MGF M_{Y}(u) pode ser expandida em série de Taylor em u=0: M_{Y}(u)=1+E(Y)\,u+\frac{E(Y^{2})}{2}u^{2}+o(u^{2})=1+\frac{u^{2}}{2}+o(u^{2}),porque E(Y)=0 e E(Y^{2})=1. Aqui o(u^{2}) significa termos que, quando divididos por u^{2}, tendem a zero quando u\to0.
  • Agora calcule a MGF de Z_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum Y_{i}. Como os Y_{i} são independentes, M_{Z_{n}}(t)=\Bigl(M_{Y}\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{n}}\bigr)\Bigr)^{n}.
  • Use a expansão: para u=\tfrac{t}{\sqrt{n}} pequeno, M_{Y}\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{n}}\bigr)=1+\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{2}}{n}+o\!\left(\frac{t^{2}}{n}\right).Tomando logaritmo, \log M_{Z_{n}}(t)=n\log\!\left(1+\frac{t^{2}}{2n}+o\!\left(\frac{t^{2}}{n}\right)\right).Para x pequeno, \log(1+x)=x+o(x). Assim \log M_{Z_{n}}(t)=n\left(\frac{t^{2}}{2n}+o\!\left(\frac{t^{2}}{n}\right)\right)=\frac{t^{2}}{2}+o(1).Fazendo n\to\infty obtemos \log M_{Z_{n}}(t)\to \tfrac{t^{2}}{2}, ou seja M_{Z_{n}}(t)\to e^{t^{2}/2}.
  • Como e^{t^{2}/2} é precisamente a MGF de uma normal padrão N(0,1), concluímos que Z_{n} converge em distribuição para N(0,1).
Comentário intuitivo: cada Y_i tem contribuição pequena (ordem 1), somam-se muitas contribuições independentes; após a escala 1/\sqrt{n} a soma tem variação finita e seu comportamento limite é gaussiano.

Passo 6

Voltar para S_{n} (transformação inversa):
Se
\frac{S_{n}-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\xrightarrow{d} N(0,1),
então, por propriedades de transformações lineares, S_{n} converge em distribuição para a normal com média n\mu e variância n\sigma^{2}. Em notação de aproximação assintótica:
S_{n}\approx N\bigl(n\mu,\;n\sigma^{2}\bigr)\quad\text{quando }n\text{ é grande.}é

Passo 7

Aplicação à binomial (explicação passo a passo):
  • Uma variável binomial S_{n}\sim\operatorname{Bin}(n,p) pode ser vista como soma de n variáveis independentes X_{i}\sim\operatorname{Bernoulli}(p), onde cada X_{i} vale 1 com probabilidade p e 0 com probabilidade 1-p.
  • Para cada X_{i} temos E(X_{i})=p e \operatorname{Var}(X_{i})=p(1-p).
  • Aplicando o resultado geral para somas, S_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}\approx N\bigl(np,\;np(1-p)\bigr)\quad\text{quando }n\to\infty.
  • Observação prática importante: como a binomial é discreta, ao usar a normal para aproximar probabilidades pontuais ou acumuladas costuma-se usar a correção de continuidade: por exemplo P(S_{n}\le k)\approx \Phi\!\left(\frac{k+0,5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right),onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão. A correção de continuidade melhora bastante a aproximação quando n não é enorme.
  • Regras de polegar para a qualidade da aproximação: normalmente exige-se que np e n(1-p) sejam ambos razoavelmente grandes (por exemplo \ge 5 ou \ge 10).

Passo 8

Distribuição amostral da proporção \widehat{p}:
  • A proporção amostral é \widehat{p}=\dfrac{S_{n}}{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}.
  • Usando a aproximação de S_{n} por uma normal, aplica-se a transformação linear: \widehat{p}\approx N\!\left(p,\;\frac{p(1-p)}{n}\right)\quad\text{quando }n\text{ é grande.}é
  • Em termos padronizados, \frac{\widehat{p}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\xrightarrow{d} N(0,1).
  • Isso é a base para construir intervalos de confiança e testes para a proporção: por exemplo um intervalo aproximado de 100(1-\alpha)\% é \widehat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}},onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão. (Aqui, ao construir o intervalo prático, costuma-se usar \widehat{p} no lugar de p na estimativa da variância.)

Passo 9

Resumo prático e condições de uso (um empurrão amigo):
  • Resumo matemático: \frac{S_{n}-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\xrightarrow{d}N(0,1) \quad\Rightarrow\quad S_{n}\approx N\bigl(n\mu,\;n\sigma^{2}\bigr).Para a binomial: \operatorname{Bin}(n,p)\approx N\bigl(np,\;np(1-p)\bigr).Para a proporção: \widehat{p}\approx N\!\left(p,\;\frac{p(1-p)}{n}\right), \qquad \frac{\widehat{p}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\xrightarrow{d}N(0,1).
  • Boas práticas: verifique np e n(1-p) não muito pequenos; use correção de continuidade para probabilidades discretas se necessário; ao construir intervalos substitua p por \widehat{p} na estimativa da variância.

Resposta

S_{n}\approx N\bigl(n\mu,\;n\sigma^{2}\bigr)\n \operatorname{Bin}(n,p)\approx N\bigl(np,\;np(1-p)\bigr)\n \widehat{p}\approx N\!\left(p,\;\dfrac{p(1-p)}{n}\right)

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