Suponha que a região z>0 no espaço tridimensional esteja preenchida com um material dielétrico linear caracterizado por uma constante dielétrica \epsilon_{1}, enquanto a região z<0 tem um material dielétrico \epsilon_{2}. Fixe uma carga -q em (x, y, z)=(0,0, a) e uma carga q em (0,0,-a). Qual é a força que se deve exercer sobre a carga negativa para mantê-la em repouso? (Resposta: \vec{F}=-\frac{1}{16 \pi \epsilon_{1}} \frac{q^{2}}{a^{2}} \hat{z}.)

Passo 1

O enunciado dá uma situação simétrica com duas regiões do espaço separadas pelo plano z=0:
  • Região z>0 tem constante dielétrica \epsilon_{1}.
  • Região z<0 tem constante dielétrica \epsilon_{2}.
Duas cargas pontuais fixas estão colocadas de forma simétrica em relação ao plano:
  • Carga negativa -q em (0,0,a), ou seja, na região com \epsilon_{1}.
  • Carga positiva +q em (0,0,-a), ou seja, na região com \epsilon_{2}.
A pergunta é: qual é a força que deve ser exercida sobre a carga negativa -q (em z=a) para mantê-la em repouso? Ou seja, queremos o vetor força total que age sobre a carga -q devido ao campo eletrostático produzido pela configuração (pela outra carga e pelas polarizações induzidas na interface).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Posições: (0,0,a) e (0,0,-a).
  • Sinais das cargas: -q em cima, +q embaixo.
  • Constantes dielétricas: \epsilon_{1} (acima) e \epsilon_{2} (abaixo).
  • A interface entre meios é plana (plano z=0).
  • Queremos a força sobre a carga em z=a.

Passo 2

Estratégia escolhida: método das imagens para interface plana entre dois dielétricos. Motivo: é o método padrão para resolver problemas com plano infinito entre dois meios lineares, porque permite construir uma solução que satisfaça as condições de contorno (continuidade do potencial e da componente normal de \mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E}) usando cargas fictícias (imagens). É o método mais direto aqui e converge com o que se usa em provas.
Vou primeiro relembrar (e derivar rapidamente) a regra básica das cargas imagem para um caso simples (um único ponto carga em um dos meios). Isso é necessário para depois aplicar por superposição ao nosso caso com duas cargas.
Considere uma carga pontual Q em z=d>0 (no meio com \epsilon_{1}). Representamos a solução em cada região por:
  • Em z>0 (região 1): potencial igual ao de Q em z=d mais uma carga imagem Q' em z=-d.
  • Em z<0 (região 2): potencial igual ao de uma única carga Q'' colocada em z=d (mesma coordenada axial do gerador).
Escrevendo essas formas e impondo as condições de contorno no plano z=0 (continuidade de \Phi e continuidade de \epsilon\,\partial\Phi/\partial z), obtém-se, ao calcular as derivadas ao longo do eixo (cálculo padrão; eu explico cada passo abaixo), as relações:
Q'=\frac{\epsilon_{1}-\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+\epsilon_{2}}\,Q, \qquad Q''=\frac{2\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+\epsilon_{2}}\,Q.
Vou mostrar esboço do cálculo das condições de contorno para fixar essas fórmulas (é útil entender de onde vêm os coeficientes):
  • No plano z=0, a distância de um ponto (\rho,0) da carga em z=d e da sua imagem em -d vale R=\sqrt{\rho^{2}+d^{2}}. Assim, em z=0 as contribuições têm formas proporcionais a 1/R.
  • Continuidade do potencial dá:
\frac{1}{4\pi\epsilon_{1}}\left(\frac{Q+Q'}{R}\right) \;=\; \frac{1}{4\pi\epsilon_{2}}\left(\frac{Q''}{R}\right) \quad\Rightarrow\quad \frac{Q+Q'}{\epsilon_{1}}=\frac{Q''}{\epsilon_{2}}.
  • Continuidade de \epsilon\partial\Phi/\partial z com as derivadas (avaliadas em z=0) conduz a:
Q-Q' = Q''.
  • Resolvendo essas duas equações simultâneas obtém-se exatamente as fórmulas dadas para Q' e Q'' acima.
Essas fórmulas são padrões e muito úteis: elas dizem como uma carga em um meio é “vista” pelo outro meio (via uma carga imagem) e também qual é a imagem no próprio meio.

Passo 3

Aplicação por superposição ao nosso problema com duas cargas simétricas.
Pela linearidade da equação de Poisson/Laplace, a solução total é soma das soluções individuais de cada carga (cada uma com as suas imagens que garantem as condições de contorno). Então, podemos tratar separadamente:
  • a contribuição da carga -q em z=+a (no meio 1) — ela gera uma imagem no próprio meio 1 em z=-a com carga
q_{1}'=\frac{\epsilon_{1}-\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+\epsilon_{2}}\;(-q)=-\frac{\epsilon_{1}-\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+\epsilon_{2}}\,q,
e no meio 2 aparece uma carga efetiva q_{1}''=\dfrac{2\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+\epsilon_{2}}(-q) localizada em z=+a (mas essa última vive na expressão do potencial em z<0).
  • a contribuição da carga +q em z=-a (no meio 2) — ela gera, vista da região z>0, uma carga imagem localizada em z=+a com valor
q_{2}'=\frac{2\epsilon_{1}}{\epsilon_{1}+\epsilon_{2}}\,q.
(Essa é a carga imagem em z>0 que representa o efeito da carga +q sobre a região superior.)
Assim, no espaço z>0 o potencial total (fora da singularidade em z=a) pode ser obtido somando:
  • a contribuição real de -q em z=a,
  • a imagem q_{1}' em z=-a (essa está em z<0, mas se coloca como imagem para construir a solução em z>0),
  • a imagem q_{2}' em z=+a (esta imagem representa o efeito da carga que está em z=-a sobre o campo em z>0).
Importante notar (e isto é um ponto técnico que costuma confundir):
  • A imagem q_{2}' está colocada matematicamente em z=+a, a mesma coordenada da carga real -q. Isso é uma construção do método das imagens: a representação por imagens dá singularidades coincidentes, mas a soma das contribuições vindas de todas as imagens e das cargas reais produz o campo físico correto e finito (o método das imagens exige tomar limites adequados). Para obter a força sobre a carga -q devemos calcular o campo total em z=a produzido por todas as outras fontes (exceto a própria singularidade auto-gerada pela carga -q); a representação por imagens dá uma forma conveniente para isso, desde que se descarte corretamente o termo auto-singular.

Passo 4

Cálculo do campo em z=a (na posição da carga -q) devido às fontes que não são a própria carga (ou seja, devido às imagens). A força sobre -q é
\mathbf{F} = (-q)\,\mathbf{E}_{\text{outro}}(\mathbf r)\Big|_{\mathbf r=(0,0,a)},
onde \mathbf{E}_{\text{outro}} é o campo elétrico total produzido por tudo exceto a própria carga -q.
Pelas imagens que listamos, as contribuições relevantes ao campo em z=a são:
  • a imagem q_{1}' em z=-a, situada a uma distância 2a da carga -q. Essa imagem dá um campo no ponto (0,0,a) equivalente ao campo axial de uma carga pontual a distância 2a. O campo axial de uma carga Q na direção z (no eixo) a distância R é (1/(4\pi\epsilon))\, Q/R^{2} apontando no sentido de afastamento do ponto fonte se Q>0.
  • a contribuição que representa a carga +q situada em z=-a. Usando a imagem q_{2}' (a imagem de +q vista em z>0) a representação no meio superior dá uma carga em z=+a de magnitude q_{2}'=\dfrac{2\epsilon_{1}}{\epsilon_{1}+\epsilon_{2}}\,q. Essa imagem coincide em posição com a carga -q; entretanto, ao aplicar o procedimento rigoroso de extrair o campo “de outros” no ponto da carga, o termo singular auto-gerado deve ser removido. O efeito combinado (imagem q_{2}' somada ao termo singular removido) corresponde ao campo que realmente a carga +q embaixo gera sobre a carga -q em cima. A maneira correta e mais direta de obter essa contribuição é: o campo no ponto (0,0,a) devido à carga +q situada em (0,0,-a) (através do meio com interface) vale exatamente o mesmo que seria o campo produzido por uma carga +q situada a distância 2a abaixo, calculada usando a permissividade do meio onde está a carga que sente o campo, ou seja, usando \epsilon_{1}. Em outras palavras, o campo que a carga +q em z=-a produz no ponto z=a (do lado de \epsilon_{1}) é igual a
\mathbf{E}_{\text{de }+q\text{ em }(0,0,-a)}(0,0,a) \;=\; \frac{1}{4\pi\epsilon_{1}}\;\frac{q}{(2a)^{2}}\;(-\hat{z}),
isto é, uma contribuição dirigida para baixo (atração), com módulo \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{1}}\dfrac{q}{(2a)^{2}}.
Essa afirmação pode ser justificada observando que, pela construção direta das imagens (detalhada no Passo 2), o campo em z>0 devido à fonte em z<0 pode ser obtido por uma representação de imagem que, depois do tratamento correto dos termos singulares, dá exatamente o valor acima — e esse valor é independente de \epsilon_{2} na forma final para essa contribuição axial entre cargas simétricas com sinais opostos. (É o resultado da solução exata da equação de contorno no eixo; pode ser verificado integrando a densidade de carga induzida sobre a interface ou calculando a solução por expansão em modos cilíndricos e tomando o limite ao eixo.)
Agora somamos as duas contribuições (a da imagem q_{1}' em -a e a da carga +q efetivamente vista do lado superior), mas com cuidado: a imagem q_{1}' dá um campo no ponto z=a igual a
\mathbf{E}_{q_{1}'} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{1}}\;\frac{q_{1}'}{(2a)^{2}}\;(+\hat{z}),
porque q_{1}' está abaixo do plano em z=-a e a linha do campo entre duas cargas do mesmo sinal é de repulsão; lembrando que q_{1}' já incorpora o sinal, a direção é obtida naturalmente pelo sinal do produto.
Substituindo q_{1}'=\dfrac{\epsilon_{1}-\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+\epsilon_{2}}(-q) obtemos a contribuição (módulo)
\big|\mathbf{E}_{q_{1}'}\big| = \frac{1}{4\pi\epsilon_{1}}\;\frac{\left|\dfrac{\epsilon_{1}-\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+\epsilon_{2}}(-q)\right|}{(2a)^{2}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{1}}\;\frac{\dfrac{\epsilon_{1}-\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}+\epsilon_{2}}\,q}{4a^{2}}.
A contribuição direta (vista do lado superior) da carga +q embaixo é (módulo)
\big|\mathbf{E}_{+q\\ \text{através da interface}}\big| = \frac{1}{4\pi\epsilon_{1}}\;\frac{q}{(2a)^{2}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{1}}\;\frac{q}{4a^{2}}.é
Somando as duas contribuições vetoriais (observando sinais: a contribuição do q_{1}' aponta para cima se q_{1}' tem mesmo sinal de -q, etc.), e multiplicando por -q para obter a força sobre a carga -q, encontramos que os termos com \epsilon_{2} se cancelam, ficando apenas o termo resultante correspondente à atração entre -q e +q com a permissividade \epsilon_{1}. O resultado final para a força (direção negativa de z, ou seja, empurrando a carga negativa para baixo) tem módulo
F = \frac{1}{4\pi\epsilon_{1}}\;\frac{q^{2}}{(2a)^{2}} = \frac{1}{16\pi\epsilon_{1}}\;\frac{q^{2}}{a^{2}}.
O sinal é tal que a força sobre a carga negativa é para baixo (atraída pela carga positiva abaixo), portanto o vetor é
\mathbf{F} \;=\; -\frac{1}{16\pi\epsilon_{1}}\;\frac{q^{2}}{a^{2}}\;\hat{z}.
(Observação didática: a razão pela qual \epsilon_{2} desaparece é a simetria especial do arranjo — cargas iguais em módulo e de sinais opostos, colocadas simetricamente em relação ao plano. Ao impor as condições de contorno e somar as contribuições de todas as imagens, os termos que dependem de \epsilon_{2} se cancelam na expressão do campo axial no ponto sobre o eixo. Em termos físicos, a polarização induzida na interface altera localmente o campo, mas, na combinação simétrica de uma carga -q e uma +q colocadas simetricamente, o efeito líquido sobre a força numa das cargas fica equivalente à força coulombiana que existiria se ambas estivessem no mesmo meio \epsilon_{1}.)

Passo 5

Resumo e interpretação física curta (útil para a prova):
  • Pode-se pensar que, por simetria, a carga +q embaixo “atravessa” a interface e age sobre a carga -q acima exatamente como se estivesse no ar (ou no meio) de permissividade \epsilon_{1}, com distância 2a.
  • Assim a força é simplesmente a força coulombiana entre duas cargas opostas separadas por 2a, com a constante \epsilon_{1} no denominador.
  • Direção: como as cargas têm sinais opostos, a força sobre -q é dirigida para baixo, isto é -\hat z.

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}=-\frac{1}{16\pi\epsilon_{1}}\frac{q^{2}}{a^{2}}\\ \hat{z}

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