Um fio infinito de densidade de carga \lambda está dentro de um cilindro dielétrico linear, com constante dielétrica \epsilon_{r} e raio a. Encontre o potencial dentro e fora do cilindro (Dica: use os exercícios de coordenadas cilíndricas da 3a lista).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dado: um fio infinito com densidade de carga linear \lambda está colocado coaxialmente dentro de um cilindro dielétrico linear de raio a e constante dielétrica relativa \epsilon_{r}. O meio fora do cilindro é o vácuo (constante \epsilon_{0}). O problema é independente de z (infinito) e simétrico em torno do eixo.
  • Pedido: encontrar o potencial elétrico V(r) nas duas regiões:
    • para 0 \le r < a (dentro do cilindro dielétrico),
    • para r > a (fora do cilindro, no vácuo).
  • Observações fornecidas pelo enunciado: usar coordenadas cilíndricas (sugestão de simetria).

Passo 2

Escolha do método e princípio físico que vamos usar — explicando como e por quê.
  • Por simetria cilíndrica (o fio é infinito e coaxial), os campos dependem apenas de r (distância radial ao eixo). Isso simplifica muito: \mathbf{E}=\mathbf{E}(r) só na direção radial.
  • Em dielétricos lineares usamos o campo de deslocamento elétrico \mathbf{D}, ligado a \mathbf{E} por
\mathbf{D}=\epsilon\,\mathbf{E},
onde \epsilon é a permissividade do meio. No dielétrico \epsilon=\epsilon_{r}\epsilon_{0}; no vácuo \epsilon=\epsilon_{0}.
  • A Lei de Gauss no formulário com \mathbf{D} diz que, para qualquer superfície fechada,
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\text{livre, enc}}.
Aqui o único carregamento livre envolvido é a carga do fio \lambda por unidade de comprimento.
  • Portanto usaremos um cilindro gaussiano coaxial de raio r e comprimento L para obter \mathbf{D}(r), depois obtemos \mathbf{E}(r)=\mathbf{D}(r)/\epsilon e integramos \mathbf{E}=-\nabla V para achar V(r).
  • Observação importante sobre potencial: o potencial de uma linha infinita diverge logaritmicamente em infinito, então não faz sentido fixar V(\infty)=0. Vamos escolher uma referência prática: impor V(a)=0 (potencial contínuo na fronteira), e apresentar V(r) relativa a essa referência. Isso é permitido porque o potencial é definido à constante aditiva.

Passo 3

Aplicação da Lei de Gauss para encontrar \mathbf{D}(r). Detalhes do cálculo passo a passo.
  • Considere um cilindro gaussiano coaxial de raio r e comprimento L. A superfície lateral tem área 2\pi r L.
  • A simetria garante que \mathbf{D} é radial e uniforme sobre a superfície lateral, e as tampas não contribuem (direção de \mathbf{D} é tangente às tampas).
  • A carga livre total encerrada é Q_{\text{livre, enc}}=\lambda L.
  • Pela Lei de Gauss com \mathbf{D}:
D_{r}(r)\, (2\pi r L)=\lambda L.
  • Daí, cancelando L,
D_{r}(r)=\frac{\lambda}{2\pi r}.
  • Observação: essa expressão vale para qualquer r>0, independentemente do meio, porque Gauss envolve somente a carga livre dentro do cilindro (a polarização do dielétrico não altera o termo da carga livre encerrada).

Passo 4

Encontrar o campo elétrico \mathbf{E}(r) em cada região usando \mathbf{E}=\mathbf{D}/\epsilon.
  • Dentro do cilindro dielétrico ( 0\le r<a): a permissividade é \epsilon=\epsilon_{r}\epsilon_{0}. Portanto
E_{r}(r)=\frac{D_{r}(r)}{\epsilon_{r}\epsilon_{0}}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_{r}\epsilon_{0}\, r}, \qquad (0\le r<a).
  • Fora do cilindro ( r>a): o meio é vácuo com \epsilon=\epsilon_{0}. Assim
E_{r}(r)=\frac{D_{r}(r)}{\epsilon_{0}}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}\, r}, \qquad (r>a).
  • Comentário físico: a componente normal de \mathbf{D} é contínua através da superfície r=a (não há carga livre na interface), mas como \epsilon muda, a componente normal de \mathbf{E} sofre descontinuidade pela razão \epsilon_{r}.

Passo 5

Expressar a relação entre campo e potencial e explicar a convenção de sinais usada.
  • Em coordenadas radiais, relacionamos \mathbf{E} e V por
E_{r}(r)=-\frac{dV}{dr},
onde E_{r} é a componente radial no sentido crescente de r.
  • Vamos escolher a referência V(a)=0. Isso evita a divergência em infinito e facilita a continuidade na fronteira r=a. Lembre-se: o potencial pode ser adicionado de uma constante arbitrária sem afetar campos físicos.

Passo 6

Integrar E_{r}(r)=-dV/dr na região externa ( r>a) para obter V(r) ali, com passos explícitos.
  • Para r>a temos E_{r}(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\, r}. Então
-\frac{dV}{dr}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\, r}.
  • Integrando de r até a (para usar a condição V(a)=0):
V(r)-V(a)=-\int_{a}^{r} \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\, r'}\, dr'.
  • Como V(a)=0,
V(r)=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\int_{a}^{r}\frac{dr'}{r'}.
  • A integral é logaritmo:
V(r)=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\Big[\ln r'\Big]_{r'=a}^{r'=r} =-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\big(\ln r-\ln a\big).
  • Reescrevendo:
V(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\!\bigg(\frac{a}{r}\bigg), \qquad (r>a).

Passo 7

Integrar E_{r}(r)=-dV/dr na região interna ( 0\le r<a) para obter V(r), com passos explícitos.
  • Para 0\le r<a temos E_{r}(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_{r}\epsilon_{0}\, r}. Então
-\frac{dV}{dr}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{r}\epsilon_{0}\, r}.
  • Integramos de r até a, usando V(a)=0:
V(r)-V(a)=-\int_{a}^{r} \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{r}\epsilon_{0}\, r'}\, dr'.
  • Com V(a)=0,
V(r)=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{r}\epsilon_{0}}\int_{a}^{r}\frac{dr'}{r'} =-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{r}\epsilon_{0}}\big(\ln r-\ln a\big).
  • Reescrevendo:
V(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{r}\epsilon_{0}}\ln\!\bigg(\frac{r}{a}\bigg), \qquad (0\le r<a).
  • Observação: para r<a, \ln(r/a) é negativo, então V(r) diverge para -\infty quando r\to 0, como esperado pela singularidade da linha de carga no eixo.

Passo 8

Verificações de continuidade e consistência física.
  • Continuidade do potencial em r=a: pelas expressões,
    • V(a^-)=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_{r}\epsilon_{0}}\ln(1)=0,
    • V(a^+)=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\ln(1)=0.
      Portanto V é contínuo em r=a, como deve ser (não há superfície com carga infinitesimal livre que cause salto no potencial).
  • Continuidade do deslocamento normal \mathbf{D} em r=a: calculamos D_{r}=\dfrac{\lambda}{2\pi r} em ambas as regiões, então D_{r} é contínuo em r=a (nenhuma carga livre na interface). Já E_{r} é descontínuo pelo fator \epsilon_{r}, conforme obtido.
  • Comportamento no eixo: V(r) diverge logaritmicamente quando r\to 0, refletindo a singularidade física da linha de carga idealizada.

Passo 9

Resumo didático rápido do que foi usado e como aplicar em provas semelhantes.
  • Estrutura padrão para problemas axissimétricos com linha de carga e meios diferentes:
    1. Use Gauss com \mathbf{D} para obter D_{r} (isso automaticamente cuida de meios dielétricos).
    2. Ache \mathbf{E}=\mathbf{D}/\epsilon separadamente em cada região (cada região tem sua \epsilon).
    3. Integre E_{r}=-dV/dr e use condições de contorno (continuidade do V e escolha de referência) para fixar constantes.
  • Dica prática: se o enunciado não fornece referência de potencial, escolha um ponto conveniente (aqui r=a) e deixe explícito que o potencial está definido até uma constante aditiva.

Resposta

V(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_{r}\epsilon_{0}}\displaystyle\ln\!\bigg(\dfrac{r}{a}\bigg),\qquad 0\le r<a
V(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\displaystyle\ln\!\bigg(\dfrac{a}{r}\bigg),\qquad r>a

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