Um fio infinito de densidade de carga
está dentro de um cilindro dielétrico linear, com constante dielétrica
e raio
. Encontre o potencial dentro e fora do cilindro (Dica: use os exercícios de coordenadas cilíndricas da 3a lista).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede, sem resolver ainda.
- Dado: um fio infinito com densidade de carga linear
está colocado coaxialmente dentro de um cilindro dielétrico linear de raio e constante dielétrica relativa . O meio fora do cilindro é o vácuo (constante ). O problema é independente de (infinito) e simétrico em torno do eixo. - Pedido: encontrar o potencial elétrico
nas duas regiões: - para
(dentro do cilindro dielétrico), - para
(fora do cilindro, no vácuo).
- para
- Observações fornecidas pelo enunciado: usar coordenadas cilíndricas (sugestão de simetria).
Passo 2
Escolha do método e princípio físico que vamos usar — explicando como e por quê.
- Por simetria cilíndrica (o fio é infinito e coaxial), os campos dependem apenas de
(distância radial ao eixo). Isso simplifica muito: só na direção radial. - Em dielétricos lineares usamos o campo de deslocamento elétrico
, ligado a por
onde
é a permissividade do meio. No dielétrico
; no vácuo
.
- A Lei de Gauss no formulário com
diz que, para qualquer superfície fechada,
Aqui o único carregamento livre envolvido é a carga do fio
por unidade de comprimento.
- Portanto usaremos um cilindro gaussiano coaxial de raio
e comprimento para obter , depois obtemos e integramos para achar . - Observação importante sobre potencial: o potencial de uma linha infinita diverge logaritmicamente em infinito, então não faz sentido fixar
. Vamos escolher uma referência prática: impor (potencial contínuo na fronteira), e apresentar relativa a essa referência. Isso é permitido porque o potencial é definido à constante aditiva.
Passo 3
Aplicação da Lei de Gauss para encontrar
. Detalhes do cálculo passo a passo.
- Considere um cilindro gaussiano coaxial de raio
e comprimento . A superfície lateral tem área . - A simetria garante que
é radial e uniforme sobre a superfície lateral, e as tampas não contribuem (direção de é tangente às tampas). - A carga livre total encerrada é
. - Pela Lei de Gauss com
:
- Daí, cancelando
,
- Observação: essa expressão vale para qualquer
, independentemente do meio, porque Gauss envolve somente a carga livre dentro do cilindro (a polarização do dielétrico não altera o termo da carga livre encerrada).
Passo 4
Encontrar o campo elétrico
em cada região usando
.
- Dentro do cilindro dielétrico (
): a permissividade é . Portanto
- Fora do cilindro (
): o meio é vácuo com . Assim
- Comentário físico: a componente normal de
é contínua através da superfície (não há carga livre na interface), mas como muda, a componente normal de sofre descontinuidade pela razão .
Passo 5
Expressar a relação entre campo e potencial e explicar a convenção de sinais usada.
- Em coordenadas radiais, relacionamos
e por
onde
é a componente radial no sentido crescente de
.
- Vamos escolher a referência
. Isso evita a divergência em infinito e facilita a continuidade na fronteira . Lembre-se: o potencial pode ser adicionado de uma constante arbitrária sem afetar campos físicos.
Passo 6
Integrar
na região externa (
) para obter
ali, com passos explícitos.
- Para
temos . Então
- Integrando de
até (para usar a condição ):
- Como
,
- A integral é logaritmo:
- Reescrevendo:
Passo 7
Integrar
na região interna (
) para obter
, com passos explícitos.
- Para
temos . Então
- Integramos de
até , usando :
- Com
,
- Reescrevendo:
- Observação: para
, é negativo, então diverge para quando , como esperado pela singularidade da linha de carga no eixo.
Passo 8
Verificações de continuidade e consistência física.
- Continuidade do potencial em
: pelas expressões, -
, -
.
Portantoé contínuo em , como deve ser (não há superfície com carga infinitesimal livre que cause salto no potencial).
-
- Continuidade do deslocamento normal
em : calculamos em ambas as regiões, então é contínuo em (nenhuma carga livre na interface). Já é descontínuo pelo fator , conforme obtido. - Comportamento no eixo:
diverge logaritmicamente quando , refletindo a singularidade física da linha de carga idealizada.
Passo 9
Resumo didático rápido do que foi usado e como aplicar em provas semelhantes.
- Estrutura padrão para problemas axissimétricos com linha de carga e meios diferentes:
- Use Gauss com
para obter (isso automaticamente cuida de meios dielétricos). - Ache
separadamente em cada região (cada região tem sua ). - Integre
e use condições de contorno (continuidade do e escolha de referência) para fixar constantes.
- Use Gauss com
- Dica prática: se o enunciado não fornece referência de potencial, escolha um ponto conveniente (aqui
) e deixe explícito que o potencial está definido até uma constante aditiva.