Uma esfera com constante dielétrica
é colocada em um campo elétrico uniforme
. Mostre que a densidade de carga induzida na superfície é
onde
é medido em relação à direção de
. Qual é o momento de dipolo da esfera? (Dica: para a primeira parte, use o resultado do exercício anterior supondo que um dos meios é o vácuo.)
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e o que temos disponível.
- Há uma esfera homogênea, linear, com permissividade elétrica
(constante dielétrica), imersa no vácuo cuja permissividade é . - A esfera é colocada em um campo elétrico externo uniforme
. O eixo polar é medido a partir da direção de (ou seja, é o polo voltado para o , direção de ). - O enunciado pede:
- provar que a densidade de carga induzida na superfície é
- determinar o momento de dipolo da esfera.
- provar que a densidade de carga induzida na superfície é
Observação prática: para obter o momento de dipolo aparece o raio da esfera. Vou chamar o raio da esfera de
(se o enunciado original já tinha um
, é esse; se não, é natural introduzir
porque o dipolo depende do volume).
Passo 2
Ideia do método e equações que vamos usar (sem ainda resolver): resolver o problema de potencial elétrico
em regime eletrostático, usando simetria esférica com dependência angular apenas em
. Explicando passo a passo:
- Em ausência de cargas livres fora/ dentro da esfera, o potencial satisfaz a equação de Laplace:
tanto dentro quanto fora da esfera. - Pela simetria: o campo aplicado é uniforme e define um eixo; a solução só depende de
e e é simétrica em torno do eixo (não depende de ). Para com essa simetria, as soluções regulares são somas de termos proporcionais a (dentro) e (fora). O campo uniforme corresponde ao termo (proporcional a ). - Então só precisamos dos termos
. Vamos escrever potencias gerais reduzidas para e determinar constantes usando as condições de contorno na superfície : - continuidade do potencial
em ; - continuidade da componente normal do deslocamento elétrico
em (não há carga livre na interface).
- continuidade do potencial
Também usaremos a relação entre polarização
e permissividades: num dielétrico linear homogêneo
e como
, temos
A densidade de carga ligada na superfície é dada por
onde
é o vetor normal externo (no caso do ponto da superfície,
), e o momento de dipolo total da esfera é
Passo 3
Escrever as formas do potencial admissíveis (aplicando a ideia do Passo 2).
- Fora da esfera (
), o potencial é a soma do potencial do campo uniforme aplicado mais um potencial de dipolo gerado pela esfera polarizada: onde é uma constante a determinar (proporcional ao momento de dipolo efetivo).
Explicação rápida: o termodá em . O termo em é a forma angular de um potencial de dipolo externo. - Dentro da esfera (
), a solução regular em para é com constante a determinar. Observação: essa forma corresponde a um campo elétrico interno uniforme (ou seja, direção do campo aplicado).
Vou agora relacionar essas expressões com os campos:
-
. Então, radialmente,
Passo 4
Aplicar as condições de contorno em
.
- Continuidade do potencial:
Substituindo as formas,
Cancelando
e rearranjando,
(Equação A)
- Continuidade da componente normal de
(não há carga livre na superfície):
Substituindo as expressões de
,
Cancelando
,
(Equação B)
Agora resolvemos as equações A e B para
e
.
Passo 5
Resolver as equações lineares para
e
.
Da Equação A temos
. Substituindo em B:
Desenvolvendo,
Isolando
,
Agora
, então
portanto
Observação física:
é justamente a amplitude do campo interno uniforme
. O fato de o campo interno ser uniforme é um resultado conhecido e muito útil em provas.
Passo 6
Calcular a densidade de carga ligada na superfície
.
Usamos a relação entre polarização e campo interno:
No ponto da superfície, a densidade de carga ligada superficial é
Aqui
. O componente radial do campo interno é
. Assim
Substituindo
obtido no Passo 5,
que é exatamente a expressão pedida.
Pequeno lembrete intuitivo: o sinal de
faz com que o polo voltado para
(ou
) tenha carga de um sinal e o oposto tenha sinal trocado — corresponde às cargas ligadas que aparecem quando o dielétrico polariza.
Passo 7
Calcular o momento de dipolo total
da esfera.
Se
é uniforme dentro da esfera (como é o caso), o momento de dipolo total é
Aqui
. Substituindo
,
Cancelando o
,
Ou, escrevendo como vetor na direção de
,
Interpretação rápida: a constante adimensional
é a “fração” de polarização que aparece; o fator
combina o volume
com a escala eletrostática
.