Uma esfera com constante dielétrica \epsilon é colocada em um campo elétrico uniforme \vec{E}_{0}. Mostre que a densidade de carga induzida na superfície é
\sigma(\theta)=\frac{\epsilon-\epsilon_{0}}{\epsilon+2 \epsilon_{0}} 3 \epsilon_{0} E_{0} \cos \theta
onde \theta é medido em relação à direção de \vec{E}. Qual é o momento de dipolo da esfera? (Dica: para a primeira parte, use o resultado do exercício anterior supondo que um dos meios é o vácuo.)

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e o que temos disponível.
  • Há uma esfera homogênea, linear, com permissividade elétrica \epsilon (constante dielétrica), imersa no vácuo cuja permissividade é \epsilon_{0}.
  • A esfera é colocada em um campo elétrico externo uniforme \vec{E}_{0}. O eixo polar \theta é medido a partir da direção de \vec{E}_{0} (ou seja, \theta=0 é o polo voltado para o +z, direção de \vec{E}_{0}).
  • O enunciado pede:
    1. provar que a densidade de carga induzida na superfície é \sigma(\theta)=\frac{\epsilon-\epsilon_{0}}{\epsilon+2 \epsilon_{0}}\,3\epsilon_{0}E_{0}\cos\theta,
    2. determinar o momento de dipolo da esfera.
Observação prática: para obter o momento de dipolo aparece o raio da esfera. Vou chamar o raio da esfera de a (se o enunciado original já tinha um a, é esse; se não, é natural introduzir a porque o dipolo depende do volume).

Passo 2

Ideia do método e equações que vamos usar (sem ainda resolver): resolver o problema de potencial elétrico \Phi em regime eletrostático, usando simetria esférica com dependência angular apenas em \cos\theta. Explicando passo a passo:
  • Em ausência de cargas livres fora/ dentro da esfera, o potencial satisfaz a equação de Laplace: \nabla^{2}\Phi=0tanto dentro quanto fora da esfera.
  • Pela simetria: o campo aplicado é uniforme e define um eixo; a solução só depende de r e \theta e é simétrica em torno do eixo (não depende de \varphi). Para \nabla^2\Phi=0 com essa simetria, as soluções regulares são somas de termos proporcionais a r^{\ell}P_{\ell}(\cos\theta) (dentro) e r^{-(\ell+1)}P_{\ell}(\cos\theta) (fora). O campo uniforme corresponde ao termo \ell=1 (proporcional a \cos\theta).
  • Então só precisamos dos termos \ell=1. Vamos escrever potencias gerais reduzidas para \ell=1 e determinar constantes usando as condições de contorno na superfície r=a:
    • continuidade do potencial \Phi em r=a;
    • continuidade da componente normal do deslocamento elétrico \vec{D}=\epsilon\vec{E} em r=a (não há carga livre na interface).
Também usaremos a relação entre polarização \vec{P} e permissividades: num dielétrico linear homogêneo
\vec{P}=\epsilon_{0}\chi_{e}\vec{E}_{\text{in}}
e como \epsilon=\epsilon_{0}(1+\chi_{e}), temos
\vec{P}=(\epsilon-\epsilon_{0})\vec{E}_{\text{in}}.
A densidade de carga ligada na superfície é dada por
\sigma_{b}=\vec{P}\cdot\hat{n},
onde \hat n é o vetor normal externo (no caso do ponto da superfície, \hat n=\hat r), e o momento de dipolo total da esfera é
\vec{p}=\int_{\text{volume}}\vec{P}\,dV = \vec{P}\times(\text{volume}) \quad(\text{se }\vec{P}\text{ for uniforme}).

Passo 3

Escrever as formas do potencial admissíveis (aplicando a ideia do Passo 2).
  • Fora da esfera ( r>a), o potencial é a soma do potencial do campo uniforme aplicado mais um potencial de dipolo gerado pela esfera polarizada: \Phi_{\text{out}}(r,\theta) = -E_{0} r \cos\theta + \frac{D\cos\theta}{r^{2}},onde D é uma constante a determinar (proporcional ao momento de dipolo efetivo).
    Explicação rápida: o termo -E_{0}r\cos\theta \vec{E}\to\vec{E}_{0} em r\to\infty. O termo em 1/r^{2} é a forma angular \ell=1 de um potencial de dipolo externo.
  • Dentro da esfera ( r<a), a solução regular em r=0 para \ell=1 é \Phi_{\text{in}}(r,\theta) = -C r \cos\theta,com constante C a determinar. Observação: essa forma corresponde a um campo elétrico interno uniforme \vec{E}_{\text{in}}=C\,\hat z (ou seja, direção do campo aplicado).
Vou agora relacionar essas expressões com os campos:
  • \vec{E}=-\nabla\Phi. Então, radialmente, E_{\text{in},r} = C\cos\theta, \qquad E_{\text{out},r} = E_{0}\cos\theta + \frac{2D\cos\theta}{r^{3}}.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno em r=a.
  1. Continuidade do potencial:
\Phi_{\text{in}}(a,\theta)=\Phi_{\text{out}}(a,\theta).
Substituindo as formas,
- C a \cos\theta = -E_{0} a \cos\theta + \frac{D\cos\theta}{a^{2}}.
Cancelando \cos\theta e rearranjando,
C = E_{0} - \frac{D}{a^{3}}.
(Equação A)
  1. Continuidade da componente normal de \vec{D} (não há carga livre na superfície):
\epsilon E_{\text{in},r}(a,\theta)=\epsilon_{0} E_{\text{out},r}(a,\theta).
Substituindo as expressões de E_{r},
\epsilon C\cos\theta = \epsilon_{0}\!\left(E_{0}\cos\theta + \frac{2D\cos\theta}{a^{3}}\right).
Cancelando \cos\theta,
\epsilon C = \epsilon_{0}E_{0} + \frac{2\epsilon_{0}D}{a^{3}}.
(Equação B)
Agora resolvemos as equações A e B para C e D.

Passo 5

Resolver as equações lineares para C e D.
Da Equação A temos \dfrac{D}{a^{3}}=E_{0}-C. Substituindo em B:
\epsilon C = \epsilon_{0}E_{0} + 2\epsilon_{0}(E_{0}-C).
Desenvolvendo,
\epsilon C = \epsilon_{0}E_{0} + 2\epsilon_{0}E_{0} - 2\epsilon_{0}C = 3\epsilon_{0}E_{0} - 2\epsilon_{0}C.
Isolando C,
C(\epsilon+2\epsilon_{0}) = 3\epsilon_{0}E_{0}, \qquad\text{logo}\qquad C = \frac{3\epsilon_{0}}{\epsilon+2\epsilon_{0}}\,E_{0}.
Agora D/a^{3}=E_{0}-C, então
\frac{D}{a^{3}} = E_{0} - \frac{3\epsilon_{0}}{\epsilon+2\epsilon_{0}}E_{0} = \frac{\epsilon-\epsilon_{0}}{\epsilon+2\epsilon_{0}}\,E_{0},
portanto
D = a^{3}\,\frac{\epsilon-\epsilon_{0}}{\epsilon+2\epsilon_{0}}\,E_{0}.
Observação física: C é justamente a amplitude do campo interno uniforme \vec{E}_{\text{in}}=C\hat z. O fato de o campo interno ser uniforme é um resultado conhecido e muito útil em provas.

Passo 6

Calcular a densidade de carga ligada na superfície \sigma_{b}(\theta).
Usamos a relação entre polarização e campo interno:
\vec{P} = (\epsilon-\epsilon_{0})\vec{E}_{\text{in}}.
No ponto da superfície, a densidade de carga ligada superficial é
\sigma_{b} = \vec{P}\cdot\hat n.
Aqui \hat n=\hat r. O componente radial do campo interno é E_{\text{in},r}=C\cos\theta. Assim
\sigma(\theta)=\sigma_{b}=(\epsilon-\epsilon_{0})E_{\text{in},r} =(\epsilon-\epsilon_{0})\,C\cos\theta.
Substituindo C obtido no Passo 5,
\sigma(\theta)=(\epsilon-\epsilon_{0})\frac{3\epsilon_{0}}{\epsilon+2\epsilon_{0}}E_{0}\cos\theta = \frac{\epsilon-\epsilon_{0}}{\epsilon+2\epsilon_{0}}\,3\epsilon_{0}E_{0}\cos\theta,
que é exatamente a expressão pedida.
Pequeno lembrete intuitivo: o sinal de \cos\theta faz com que o polo voltado para +\vec{E}_{0} (ou \theta=0) tenha carga de um sinal e o oposto tenha sinal trocado — corresponde às cargas ligadas que aparecem quando o dielétrico polariza.

Passo 7

Calcular o momento de dipolo total \vec{p} da esfera.
Se \vec{P} é uniforme dentro da esfera (como é o caso), o momento de dipolo total é
\vec{p}=\int_{V}\vec{P}\,dV = \vec{P}\times(\text{volume}) = \vec{P}\cdot\frac{4}{3}\pi a^{3}.
Aqui \vec{P}=(\epsilon-\epsilon_{0})\vec{E}_{\text{in}}=(\epsilon-\epsilon_{0})C\,\hat z. Substituindo C,
\vec{p}=(\epsilon-\epsilon_{0})\frac{3\epsilon_{0}}{\epsilon+2\epsilon_{0}}E_{0}\,\hat z\;\cdot\frac{4}{3}\pi a^{3}.
Cancelando o 3,
\vec{p}=4\pi\epsilon_{0}a^{3}\,\frac{\epsilon-\epsilon_{0}}{\epsilon+2\epsilon_{0}}\,E_{0}\,\hat z.
Ou, escrevendo como vetor na direção de \vec{E}_{0},
\vec{p}=4\pi\epsilon_{0}a^{3}\,\frac{\epsilon-\epsilon_{0}}{\epsilon+2\epsilon_{0}}\,\vec{E}_{0}.
Interpretação rápida: a constante adimensional \dfrac{\epsilon-\epsilon_{0}}{\epsilon+2\epsilon_{0}} é a “fração” de polarização que aparece; o fator 4\pi\epsilon_{0}a^{3} combina o volume \sim a^{3} com a escala eletrostática \epsilon_{0}.

Resposta

\displaystyle \sigma(\theta)=\frac{\epsilon-\epsilon_{0}}{\epsilon+2\epsilon_{0}}\,3\epsilon_{0}E_{0}\cos\theta
\displaystyle \vec{p}=4\pi\epsilon_{0}a^{3}\,\frac{\epsilon-\epsilon_{0}}{\epsilon+2\epsilon_{0}}\,\vec{E}_{0}

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