Suponha que A, B, e D são eventos tais que A e B são independentes, Pr(A cap B cap D)=0.04, Pr(D mid A cap B)=0.25, e Pr(B)=4 Pr(A). Calcule Pr(A cup B).

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que A e B são independentes e que existem três informações:
  1. Pr(Acup B)=Pr(A)+Pr(B)-Pr(Acap B)

  2. O objetivo é achar .
    Conteúdo da matéria: probabilidade de união de eventos, eventos independentes e probabilidade condicional. Vamos precisar da definição de probabilidade condicional, da independência (que dá ) e da fórmula de união:

Passo 2

Primeiro, vamos usar a probabilidade condicional. Por definição,
Pr(Dmid Acap B) =Pr(Acap Bcap D)Pr(Acap B)
A gente sabe que 0.25=0.04Pr(Acap B) Longrightarrow Pr(Acap B)=0.040.25=0.16 e . Substituindo:

Passo 3

Como A e B são independentes, vale
Pr(Acap B)=Pr(A),Pr(B)
Então
Pr(A),Pr(B)=0.16

Passo 4

Também temos Pr(A)timesl(4,Pr(A)r)=0.16 ;Longrightarrow; 4,Pr(A)^2=0.16 ;Longrightarrow; Pr(A)^2=0.04 ;Longrightarrow; Pr(A)=0.2 . Substituindo em :
(não consideramos raiz negativa porque probabilidade é não-negativa).
Logo .

Passo 5

Agora é só aplicar a fórmula da união:
Pr(Acup B) =Pr(A)+Pr(B)-Pr(Acap B) =0.2+0.8-0.16=1.0-0.16=0.84

Resposta

.

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