Seja A1, A2 e A3 três eventos arbitrários. Mostre que a probabilidade de que exatamente um desses três eventos ocorra será:
& Pr(A1)+Pr(A2)+Pr(A3) & -2 Pr(A1 cap A2)-2 Pr(A1 cap A3)-2 Pr(A2 cap A3) & +3 Pr(A1 cap A2 cap A3)
Qual é a fórmula geral para n eventos arbitrários?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados três eventos Pr(A1)+Pr(A2)+Pr(A3) -2l[Pr(A1cap A2)+Pr(A1cap A3)+Pr(A2cap A3)r] +3,Pr(A1cap A2cap A3) , a probabilidade de “exatamente um deles ocorrer” é
Esse tópico é parte de Probabilidade, mais precisamente o princípio da inclusão-exclusão e uso de complementares. Vamos precisar:
  1. escrever o evento “exatamente um ocorre” como união de interseções com complementares;
  2. aplicar inclusão-exclusão para expandir cada termo;
  3. somar e simplificar;
  4. generalizar para eventos.

Passo 2

O evento “exatamente um de (A1cap A2^ccap A3^c);cup;(A1^ccap A2cap A3^c);cup;(A1^ccap A2^ccap A3) ocorre” é disjunto da união
Pr(exatamente um) = Pr(A1cap A2^ccap A3^c) +Pr(A1^ccap A2cap A3^c) +Pr(A1^ccap A2^ccap A3)
Como são disjuntos,

Passo 3

Vamos expandir, por exemplo,
Pr(A1cap A2^ccap A3^c)
Usamos inclusão-exclusão em Pr(A1cap A2^ccap A3^c) = Pr(A1) - Pr(A1cap A2) - Pr(A1cap A3) + Pr(A1cap A2cap A3) e os eventos Pr(A1^ccap A2cap A3^c) = Pr(A2)-Pr(A1cap A2)-Pr(A2cap A3)+Pr(A1cap A2cap A3), para os quais tomamos complementares:
Pr(A1^ccap A2^ccap A3) = Pr(A3)-Pr(A1cap A3)-Pr(A2cap A3)+Pr(A1cap A2cap A3)
De modo análogo,

Passo 4

Somando esses três resultados, os termos Prexatamente 1 =Pr(A1)+Pr(A2)+Pr(A3) -2l[Pr(A1cap A2)+Pr(A1cap A3)+Pr(A2cap A3)r] +3,Pr(A1cap A2cap A3) aparecem uma vez cada, cada aparece duas vezes com sinal “−” e aparece três vezes com “+”. Isso dá exatamente a fórmula do enunciado:

Passo 5

Para Pr(exatamente 1) = sumi=1^n Prl(Aicapcapjne iAj^cr) eventos boxed Pr(exatamente 1 entre n) =sumk=1^n(-1)^,k-1,k sum1<= i1, o raciocínio é o mesmo:
e cada termo a gente expande por inclusão-exclusão. O resultado geral fica

Resposta

Pr(exatamente 1 entre n) =sumk=1^n(-1)^k-1,k sum1<= i1

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