Seja
e
três eventos arbitrários. Mostre que a probabilidade de que exatamente um desses três eventos ocorra será:
Qual é a fórmula geral para
eventos arbitrários?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados três eventos
, a probabilidade de “exatamente um deles ocorrer” é
Esse tópico é parte de Probabilidade, mais precisamente o princípio da inclusão-exclusão e uso de complementares. Vamos precisar:
- escrever o evento “exatamente um ocorre” como união de interseções com complementares;
- aplicar inclusão-exclusão para expandir cada termo;
- somar e simplificar;
- generalizar para
eventos.
Passo 2
O evento “exatamente um de
ocorre” é disjunto da união
Como são disjuntos,
Passo 3
Vamos expandir, por exemplo,
Usamos inclusão-exclusão em
e os eventos
para os quais tomamos complementares:
De modo análogo,
Passo 4
Somando esses três resultados, os termos
aparecem uma vez cada, cada
aparece duas vezes com sinal “−” e
aparece três vezes com “+”. Isso dá exatamente a fórmula do enunciado:
Passo 5
Para
eventos
, o raciocínio é o mesmo:
e cada termo a gente expande por inclusão-exclusão. O resultado geral fica