Suponha que 10 cartas, dentre as quais 5 são vermelhas e 5 são verdes, são colocadas aleatoriamente em 10 envelopes, dos quais 7 são vermelhos e três são verdes, isto é, cada envelope contém uma única carta. Determine a probabilidade de que exatamente envelopes conterá a carta que combine com sua cor .
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos 10 cartas (5 vermelhas e 5 verdes) e 10 envelopes (7 vermelhos e 3 verdes). Elas são distribuídas aleatoriamente, uma carta por envelope. Queremos a probabilidade de que exatamente envelopes “casem” cor de carta com cor de envelope, para .
Conteúdo: probabilidade em espaço uniforme e contagem com combinações (coeficientes binomiais). Vamos precisar contar quantas atribuições de cartas a envelopes dão exatamente acertos e dividir pelo total de atribuições possíveis.
Passo 2
Primeiro, o total de maneiras de pôr 5 cartas vermelhas e 5 verdes em 10 envelopes (ignorando distinção entre cartas da mesma cor) é
pois escolhemos 5 envelopes que receberão cartas vermelhas (e os outros 5, verdes). Logo
Passo 3
Agora, para ter exatamente “matches” de cor, vamos escrever
= número de envelopes vermelhos que receberam carta vermelha (acertos em envelopes vermelhos);
= número de envelopes verdes que receberam carta verde (acertos em envelopes verdes).
Então .
Se em 7 envelopes vermelhos acertamos , os outros recebem carta verde.
Se em 3 envelopes verdes acertamos , os outros recebem carta vermelha.
Mas só temos 5 cartas de cada cor, então o total de cartas vermelhas usadas é
que precisa ser igual a 5. Portanto
Isso implica que e não são livres: . Em termos de dá
Logo só surgem probabilidades não nulas para . Para outros , P=0.
Passo 4
Contagem das maneiras favoráveis, quando :
Escolher os envelopes vermelhos que realmente recebem carta vermelha: .
Escolher os envelopes verdes que recebem carta verde: .
Nada mais é livre, pois as cartas restantes se encaixam automaticamente.