Suponha que 10 cartas, dentre as quais 5 são vermelhas e 5 são verdes, são colocadas aleatoriamente em 10 envelopes, dos quais 7 são vermelhos e três são verdes, isto é, cada envelope contém uma única carta. Determine a probabilidade de que exatamente k envelopes conterá a carta que combine com sua cor (k=0,1, ldots, 10).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos 10 cartas (5 vermelhas e 5 verdes) e 10 envelopes (7 vermelhos e 3 verdes). Elas são distribuídas aleatoriamente, uma carta por envelope. Queremos a probabilidade de que exatamente envelopes “casem” cor de carta com cor de envelope, para .
Conteúdo: probabilidade em espaço uniforme e contagem com combinações (coeficientes binomiais). Vamos precisar contar quantas atribuições de cartas a envelopes dão exatamente acertos e dividir pelo total de atribuições possíveis.

Passo 2

Primeiro, o total de maneiras de pôr 5 cartas vermelhas e 5 verdes em 10 envelopes (ignorando distinção entre cartas da mesma cor) é
binom105
pois escolhemos 5 envelopes que receberão cartas vermelhas (e os outros 5, verdes). Logo
#total=binom105=252

Passo 3

Agora, para ter exatamente i;(nas vermelhas);+;(3-j);(nas verdes não-acertadas) “matches” de cor, vamos escrever
  • i + (3 - j) = 5 Longrightarrow i - j = 2 = número de envelopes vermelhos que receberam carta vermelha (acertos em envelopes vermelhos);
  • k = i+j = (j+2)+j = 2j + 2 Longrightarrow j = k-22,;; i=k+22 = número de envelopes verdes que receberam carta verde (acertos em envelopes verdes).
    Então .
Se em 7 envelopes vermelhos acertamos , os outros recebem carta verde.
Se em 3 envelopes verdes acertamos , os outros recebem carta vermelha.
Mas só temos 5 cartas de cada cor, então o total de cartas vermelhas usadas é
ã
que precisa ser igual a 5. Portanto
Isso implica que e não são livres: . Em termos de
Logo só surgem probabilidades não nulas para . Para outros , P=0.

Passo 4

Contagem das maneiras favoráveis, quando i=k+22, j=k-22, :
  1. Escolher os #favs(k) = binom7k+22;binom3k-22 envelopes vermelhos que realmente recebem carta vermelha: .
  2. Escolher os envelopes verdes que recebem carta verde: .
    Nada mais é livre, pois as cartas restantes se encaixam automaticamente.
Assim, para par entre 2 e 8, com
temos
A probabilidade é esse número dividido por .

Resposta

Para cada P(X=k)= dfrac binom7k+22;binom3k-22 binom105, &kin2,4,6,8,[6pt] 0,&caso contrário ,
P(2)=21252=112, P(4)=105252=512, P(6)=105252=512, P(8)=21252=112, á
Numericamente:
e para , .

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