O teorema de Clairaut diz que: se duas funções
forem contínuas em uma bola aberta contendo o ponto (a, b), então,
. Verifique o teorema de Clairaut para a função
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos o Teorema de Clairaut, que diz que se as derivadas parciais mistas
e
forem contínuas em torno de um ponto, então elas são iguais. Nosso objetivo aqui é verificar esse teorema para a função
. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais mistas e ver se elas realmente são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e diferenciamos
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde a derivada de
é
multiplicado pela derivada de
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Para isso, aplicamos a regra do produto:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Aqui, novamente usamos a regra da cadeia.
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
para obter
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Resposta
Como
, o Teorema de Clairaut está verificado para a função
.