O teorema de Clairaut diz que: se duas funções fx y e fy x forem contínuas em uma bola aberta contendo o ponto (a, b), então, fx y=fy x. Verifique o teorema de Clairaut para a função f(x, y)=cos (x y^2).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos o Teorema de Clairaut, que diz que se as derivadas parciais mistas e forem contínuas em torno de um ponto, então elas são iguais. Nosso objetivo aqui é verificar esse teorema para a função . Para isso, vamos calcular as derivadas parciais mistas e ver se elas realmente são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de fx = partialpartial x cos(x y^2) = -sin(x y^2) cdot y^2 em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde a derivada de é multiplicado pela derivada de .

Passo 3

Agora, vamos derivar fxy = partialpartial y (-sin(x y^2) cdot y^2) em relação a fxy = -cos(x y^2) cdot (2x y) cdot y^2 - sin(x y^2) cdot 2y para encontrar fxy = -2x y^3 cos(x y^2) - 2y sin(x y^2) :
Para isso, aplicamos a regra do produto:
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de fy = partialpartial y cos(x y^2) = -sin(x y^2) cdot 2x y em relação a , ou seja, :
Aqui, novamente usamos a regra da cadeia.

Passo 5

Em seguida, derivamos fyx = partialpartial x (-sin(x y^2) cdot 2x y) em relação a fyx = -cos(x y^2) cdot y^2 cdot 2x y - sin(x y^2) cdot 2y para obter fyx = -2x y^3 cos(x y^2) - 2y sin(x y^2) :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

Como , o Teorema de Clairaut está verificado para a função .

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