Suponha que o sistema massa-mola descrito pela equação diferencial
tenha amortecimento crítico, i.é, seus parâmetros são tais que
e que as condições iniciais, em
, sejam
Mostre que, se
, e
qualquer
, tem-se
quando
, mas o objeto não passará nenhuma vez pela sua posição de equilíbrio
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola que segue a equação diferencial:
Aqui, m é a massa, c é o coeficiente de amortecimento e k é a constante da mola. A gente está lidando com um amortecimento crítico, ou seja, os parâmetros satisfazem
, o que significa que
. As condições iniciais são que, no tempo
, a posição é
e a velocidade é
.
Vamos precisar entender um pouco sobre soluções de equações diferenciais com amortecimento crítico para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como resolver essa equação diferencial com amortecimento crítico. Quando
, a solução geral da equação é dada por:
Onde
, e
e
são constantes que determinamos usando as condições iniciais.
Passo 3
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
. Sabemos que:
Agora, derivamos
para encontrar
:
Simplificando:
Aplicando a condição inicial
:
Já sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na solução geral:
Mas o enunciado nos diz que
. Então:
E a solução fica:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento de
quando
. A função
tende a zero conforme
cresce. Já o termo
cresce linearmente, mas o decaimento exponencial domina, então o produto tende a zero:
Isso mostra que, conforme o tempo passa, a posição
se aproxima de zero.
Passo 6
Agora, precisamos mostrar que o objeto nunca passa pela posição de equilíbrio
. Para isso, analisamos a solução:
Como
, o sinal de
depende apenas do sinal de
e do termo
. Como
,
é sempre positivo. Além disso,
também é sempre positivo. Então,
sempre terá o mesmo sinal de
. Isso significa que
nunca será zero para nenhum
, ou seja, o objeto nunca passa pela posição de equilíbrio.
Resposta
Quando
e
, a posição
tende a zero conforme
, mas o objeto nunca passa pela posição de equilíbrio
.