Suponha que o sistema massa-mola descrito pela equação diferencial
m x^prime prime+c x^prime+k x=0
tenha amortecimento crítico, i.é, seus parâmetros são tais que c^24 km=1, longrightarrow c^2=4 km e que as condições iniciais, em t=0, sejam
x(0)=x0 e x^prime(0)=v0
Mostre que, se v0=0, e x0 qualquer neq 0, tem-se x 0 quando t infty, mas o objeto não passará nenhuma vez pela sua posição de equilíbrio (x=0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola que segue a equação diferencial:
m x'' + c x' + k x = 0
Aqui, m é a massa, c é o coeficiente de amortecimento e k é a constante da mola. A gente está lidando com um amortecimento crítico, ou seja, os parâmetros satisfazem c^24 km = 1, o que significa que c^2 = 4 km. As condições iniciais são que, no tempo t = 0, a posição é x(0) = x0 e a velocidade é x'(0) = v0.
Vamos precisar entender um pouco sobre soluções de equações diferenciais com amortecimento crítico para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como resolver essa equação diferencial com amortecimento crítico. Quando c^2 = 4 km, a solução geral da equação é dada por:
x(t) = (A + B t) e^-alpha t
Onde alpha = c2m, e A e B são constantes que determinamos usando as condições iniciais.

Passo 3

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar A e B. Sabemos que:
x(0) = x0 = (A + B cdot 0) e^0 Rightarrow A = x0
Agora, derivamos x(t) para encontrar x'(t):
x'(t) = ddt [(A + B t) e^-alpha t] = B e^-alpha t + (A + B t)(- alpha) e^-alpha t
Simplificando:
x'(t) = (B - alpha A) e^-alpha t - alpha B t e^-alpha t
Aplicando a condição inicial x'(0) = v0:
v0 = (B - alpha A) e^0 = B - alpha A
Já sabemos que A = x0, então:
B = v0 + alpha x0

Passo 4

Agora, substituímos A e B na solução geral:
x(t) = (x0 + (v0 + alpha x0) t) e^-alpha t
Mas o enunciado nos diz que v0 = 0. Então:
B = 0 + alpha x0 = alpha x0
E a solução fica:
x(t) = (x0 + alpha x0 t) e^-alpha t = x0 (1 + alpha t) e^-alpha t

Passo 5

Vamos analisar o comportamento de x(t) quando t to infty. A função e^-alpha t tende a zero conforme t cresce. Já o termo (1 + alpha t) cresce linearmente, mas o decaimento exponencial domina, então o produto tende a zero:
limt to infty x(t) = limt to infty x0 (1 + alpha t) e^-alpha t = 0
Isso mostra que, conforme o tempo passa, a posição x(t) se aproxima de zero.

Passo 6

Agora, precisamos mostrar que o objeto nunca passa pela posição de equilíbrio x = 0. Para isso, analisamos a solução:
x(t) = x0 (1 + alpha t) e^-alpha t
Como x0 neq 0, o sinal de x(t) depende apenas do sinal de x0 e do termo (1 + alpha t). Como t >= 0, (1 + alpha t) é sempre positivo. Além disso, e^-alpha t também é sempre positivo. Então, x(t) sempre terá o mesmo sinal de x0. Isso significa que x(t) nunca será zero para nenhum t > 0, ou seja, o objeto nunca passa pela posição de equilíbrio.

Resposta

Quando v0 = 0 e x0 neq 0, a posição x(t) tende a zero conforme t to infty, mas o objeto nunca passa pela posição de equilíbrio x = 0.

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