Suponha que o sistema massa-mola descrito pela equação diferencial
tenha amortecimento crítico, i.é, seus parâmetros são tais que
e que as condições iniciais, em
, sejam
Determine a condição sobre
em função de
,
e
, para garantir que o objeto passe pela sua posição de equilíbrio, em algum instante de tempo. Interprete, considerando 3 situações: na primeira, considere que
seja positivo (i.é, o objeto está inicialmente abaixo da posição de equilíbrio), na segunda, considere que
seja negativo (i.é, o objeto está inicialmente acima da posição de equilíbrio), e na terceira, considere que
seja zero.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com um sistema massa-mola, que é um clássico da física. A equação diferencial que descreve esse sistema é:
Aqui, $ m $ é a massa, $ c $ é o coeficiente de amortecimento, e $ k $ é a constante da mola. O exercício nos diz que o sistema está com amortecimento crítico, ou seja, $ \frac{c^{2}}{4 km} = 1 $, o que simplifica para $ c^{2} = 4 k m $. As condições iniciais são $ x(0) = x_0 $ e $ x’(0) = v_0 $.
Nosso objetivo é encontrar uma condição para $ v_0 $ em função de $ c $, $ m $ e $ x_0 $ que garante que o objeto passe pela posição de equilíbrio em algum momento. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa amortecimento crítico. No sistema massa-mola, o amortecimento determina como o sistema retorna à posição de equilíbrio. Com amortecimento crítico ($ c^{2} = 4 k m $), o sistema retorna à posição de equilíbrio sem oscilar.
A solução geral da equação diferencial com amortecimento crítico é:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $.
Quando $ t = 0 $:
Então, $ A = x_0 $.
Agora, vamos derivar $ x(t) $ para encontrar $ x’(t) $:
Simplificando:
No tempo $ t = 0 $:
Sabemos que $ A = x_0 $, então substituindo:
Passo 4
Agora, nossa solução fica:
Queremos que o objeto passe pela posição de equilíbrio, ou seja, $ x(t) = 0 $ para algum $ t > 0 $.
Vamos resolver $ x(t) = 0 $:
Como o termo exponencial nunca é zero, devemos ter:
Resolvendo para $ t $:
Para que $ t > 0 $, o numerador e o denominador devem ter sinais opostos.
Passo 5
Vamos analisar os sinais:
Isso significa que:
Ou seja, $ x_0 $ e $ v_0 + \frac{c}{2m} x_0 $ têm sinais opostos.
Vamos isolar $ v_0 $:
Então, a condição para $ v_0 $ é:
Passo 6
Agora, vamos interpretar as três situações solicitadas:
-
$ x_0 > 0 $ (objeto inicialmente abaixo da posição de equilíbrio):Para que o objeto passe pela posição de equilíbrio, $ v_0 $ deve ser menor que $ -\frac{c}{2m} x_0 $. Isso significa que ele precisa ter uma velocidade inicial negativa suficientemente grande para superar a posição inicial.
-
$ x_0 < 0 $ (objeto inicialmente acima da posição de equilíbrio):Aqui, $ v_0 $ deve ser maior que $ -\frac{c}{2m} x_0 $. Ou seja, a velocidade inicial deve ser positiva o bastante para que o objeto se mova em direção à posição de equilíbrio.
-
$ x_0 = 0 $ (objeto inicialmente na posição de equilíbrio):Se $ x_0 = 0 $, a condição se simplifica para $ v_0 = 0 $. Portanto, se o objeto começa exatamente na posição de equilíbrio sem velocidade inicial, ele permanecerá nessa posição.
Resposta
A condição para que o objeto passe pela posição de equilíbrio é:
Onde:
- Se $ x_0 > 0 $, $ v_0 $ deve ser menor que $ -\frac{c}{2m} x_0 $.
- Se $ x_0 < 0 $, $ v_0 $ deve ser maior que $ -\frac{c}{2m} x_0 $.
- Se $ x_0 = 0 $, então $ v_0 = 0 $.