Suponha que o sistema massa-mola descrito pela equação diferencial
m x^prime prime+c x^prime+k x=0
tenha amortecimento crítico, i.é, seus parâmetros são tais que c^24 km=1, longrightarrow c^2=4 km e que as condições iniciais, em t=0, sejam
x(0)=x0 e x^prime(0)=v0
Determine a condição sobre v0 em função de c, m e x0, para garantir que o objeto passe pela sua posição de equilíbrio, em algum instante de tempo. Interprete, considerando 3 situações: na primeira, considere que x0 seja positivo (i.é, o objeto está inicialmente abaixo da posição de equilíbrio), na segunda, considere que x0 seja negativo (i.é, o objeto está inicialmente acima da posição de equilíbrio), e na terceira, considere que x0 seja zero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com um sistema massa-mola, que é um clássico da física. A equação diferencial que descreve esse sistema é:
m x'' + c x' + k x = 0
Aqui, $ m $ é a massa, $ c $ é o coeficiente de amortecimento, e $ k $ é a constante da mola. O exercício nos diz que o sistema está com amortecimento crítico, ou seja, $ \frac{c^{2}}{4 km} = 1 $, o que simplifica para $ c^{2} = 4 k m $. As condições iniciais são $ x(0) = x_0 $ e $ x’(0) = v_0 $.
Nosso objetivo é encontrar uma condição para $ v_0 $ em função de $ c $, $ m $ e $ x_0 $ que garante que o objeto passe pela posição de equilíbrio em algum momento. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa amortecimento crítico. No sistema massa-mola, o amortecimento determina como o sistema retorna à posição de equilíbrio. Com amortecimento crítico ($ c^{2} = 4 k m $), o sistema retorna à posição de equilíbrio sem oscilar.
A solução geral da equação diferencial com amortecimento crítico é:
c^2 = 4 k m
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $.
Quando $ t = 0 $:
A
Então, $ A = x_0 $.
Agora, vamos derivar $ x(t) $ para encontrar $ x’(t) $:
B
Simplificando:
t = 0
No tempo $ t = 0 $:
x(0) = A e^0 = A = x0
Sabemos que $ A = x_0 $, então substituindo:
A = x0

Passo 4

Agora, nossa solução fica:
x(t) = (x0 + (v0 + c2m x0) t) e^-c2m t
Queremos que o objeto passe pela posição de equilíbrio, ou seja, $ x(t) = 0 $ para algum $ t > 0 $.
Vamos resolver $ x(t) = 0 $:
x(t) = 0
Como o termo exponencial nunca é zero, devemos ter:
t > 0
Resolvendo para $ t $:
x(t) = 0
Para que $ t > 0 $, o numerador e o denominador devem ter sinais opostos.

Passo 5

Vamos analisar os sinais:
-x0v0 + c2m x0 > 0
Isso significa que:
x0v0 + c2m x0 < 0
Ou seja, $ x_0 $ e $ v_0 + \frac{c}{2m} x_0 $ têm sinais opostos.
Vamos isolar $ v_0 $:
x0
v0 + c2m x0
Então, a condição para $ v_0 $ é:
v0

Passo 6

Agora, vamos interpretar as três situações solicitadas:
  1. $ x_0 > 0 $ (objeto inicialmente abaixo da posição de equilíbrio):
    Para que o objeto passe pela posição de equilíbrio, $ v_0 $ deve ser menor que $ -\frac{c}{2m} x_0 $. Isso significa que ele precisa ter uma velocidade inicial negativa suficientemente grande para superar a posição inicial.
  2. $ x_0 < 0 $ (objeto inicialmente acima da posição de equilíbrio):
    Aqui, $ v_0 $ deve ser maior que $ -\frac{c}{2m} x_0 $. Ou seja, a velocidade inicial deve ser positiva o bastante para que o objeto se mova em direção à posição de equilíbrio.
  3. $ x_0 = 0 $ (objeto inicialmente na posição de equilíbrio):
    Se $ x_0 = 0 $, a condição se simplifica para $ v_0 = 0 $. Portanto, se o objeto começa exatamente na posição de equilíbrio sem velocidade inicial, ele permanecerá nessa posição.

Resposta

A condição para que o objeto passe pela posição de equilíbrio é:
v0 = -c2m x0
Onde:
  • Se $ x_0 > 0 $, $ v_0 $ deve ser menor que $ -\frac{c}{2m} x_0 $.
  • Se $ x_0 < 0 $, $ v_0 $ deve ser maior que $ -\frac{c}{2m} x_0 $.
  • Se $ x_0 = 0 $, então $ v_0 = 0 $.

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