Suponha que \sum_{k=1}^{n} a_{k}=\frac{2}{n}+1, n \in \mathbb{N}. Determine
(ii) \lim _{k \rightarrow \infty} a_{k}

Passo 1

O enunciado dá a soma parcial dos termos a_k:
S_n=\sum_{k=1}^{n} a_{k}=\frac{2}{n}+1,\qquad n\in\mathbb{N}.
A pergunta que devemos responder é: determinar \displaystyle\lim_{k\to\infty} a_{k}.

Passo 2

Lembrando a relação entre soma parcial e termos da sequência: o primeiro termo é a_1=S_1 e, para n\ge2,
a_n=S_n-S_{n-1}.
Isto vem da propriedade telescópica das somas parciais:
\sum_{k=1}^{n} a_k-\sum_{k=1}^{n-1} a_k = a_n.

Passo 3

Calcular a_1 (só para referência):
a_1=S_1=\frac{2}{1}+1=3.
(Esse valor não é necessário para o limite quando k\to\infty, mas é bom saber.)

Passo 4

Agora calcule a_n para n\ge2 usando a_n=S_n-S_{n-1}:
a_n=\left(\frac{2}{n}+1\right)-\left(\frac{2}{n-1}+1\right) =\frac{2}{n}-\frac{2}{n-1}.
Fatorando e colocando em uma única fração:
a_n=2\!\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right) =2\!\left(\frac{n-1-n}{n(n-1)}\right) =-\frac{2}{n(n-1)}.
Também pode ser escrito como
a_n=-\frac{2}{n^{2}-n}.

Passo 5

Determinar o limite de a_n quando n\to\infty. Observe que o numerador é constante e o denominador n(n-1) cresce sem limite quando n\to\infty. Portanto a fração tende a zero. Formalmente,
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{2}{n(n-1)}\right)=0.
Uma maneira alternativa de ver: \left|a_n\right|=\dfrac{2}{n(n-1)}\le \dfrac{2}{n}\cdot\dfrac{1}{n-1}, e como \dfrac{1}{n(n-1)}\to0, segue que a_n\to0.

Resposta

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