Suponha que \sum_{k=1}^{n} a_{k}=\frac{2}{n}+1, n \in \mathbb{N}. Determine
(iii) \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}

Passo 1

O enunciado dá a soma parcial (soma dos primeiros n termos) da sequência (a_k):
S_n=\sum_{k=1}^{n} a_{k}=1+\frac{2}{n},\qquad n\in\mathbb{N}.
A pergunta (iii) é: determinar
\sum_{k=1}^{\infty} a_{k},
isto é, o valor da série infinita formada pelos a_k.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa a soma de uma série. Se S_n é a soma parcial \sum_{k=1}^{n} a_k, então a soma da série infinita \sum_{k=1}^{\infty} a_k (quando existe) é o limite dos S_n quando n\to\infty:
\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}=\lim_{n\to\infty} S_n.
Portanto, para responder (iii) basta calcular \lim_{n\to\infty} S_n com o S_n dado.

Passo 3

Substituímos S_n=1+\dfrac{2}{n} e calculamos o limite:
\lim_{n\to\infty} S_n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right).
Como \dfrac{2}{n}\to 0 quando n\to\infty (denominador cresce sem limite, portanto a fração tende a zero), obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)=1+0=1.

Passo 4

Para fixar o conceito e ver a estrutura dos termos a_k, podemos também obter a_n pela diferença entre somas parciais:
a_1=S_1=1+\frac{2}{1}=3,
e para n\ge 2,
a_n=S_n-S_{n-1}=\left(1+\frac{2}{n}\right)-\left(1+\frac{2}{n-1}\right) =2\!\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right).
Isso mostra que a sequência de termos é telescópica quando somada, e confirma que as somas parciais são exatamente S_n=1+\dfrac{2}{n}. O limite das somas parciais continua sendo 1.

Passo 5

Portanto a série converge e o seu valor é 1. Força aí na prova — você já tem a ideia principal: quando o enunciado dá diretamente S_n, basta passar pro limite.

Resposta

1

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