Suponha que
. Determine
(iii)
(iii)
Passo 1
O enunciado dá a soma parcial (soma dos primeiros
termos) da sequência
:
A pergunta (iii) é: determinar
isto é, o valor da série infinita formada pelos
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa a soma de uma série. Se
é a soma parcial
, então a soma da série infinita
(quando existe) é o limite dos
quando
:
Portanto, para responder (iii) basta calcular
com o
dado.
Passo 3
Substituímos
e calculamos o limite:
Como
quando
(denominador cresce sem limite, portanto a fração tende a zero), obtemos
Passo 4
Para fixar o conceito e ver a estrutura dos termos
, podemos também obter
pela diferença entre somas parciais:
e para
,
Isso mostra que a sequência de termos é telescópica quando somada, e confirma que as somas parciais são exatamente
. O limite das somas parciais continua sendo
.
Passo 5
Portanto a série converge e o seu valor é
. Força aí na prova — você já tem a ideia principal: quando o enunciado dá diretamente
, basta passar pro limite.