Suponha que \sum_{k=1}^{n} a_{k}=\frac{2}{n}+1, n \in \mathbb{N}. Determine
(i) a_{50}

Passo 1

O enunciado dá a soma parcial da sequência (a_k) por
\sum_{k=1}^{n} a_{k}=1+\frac{2}{n},\qquad n\in\mathbb{N}.
A pergunta é: determinar \,a_{50}.

Passo 2

Vamos lembrar uma relação básica entre termos de uma sequência e suas somas parciais. Se definirmos
S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k,
então o termo geral pode ser obtido pelas diferenças das somas parciais:
a_1=S_1,\qquad a_n=S_n-S_{n-1}\quad\text{para }n\ge2.
Explicando por que: S_n=S_{n-1}+a_n. Subtraindo S_{n-1} dos dois lados vem a_n=S_n-S_{n-1}. Isso é simplesmente o efeito telescópico das somas.

Passo 3

Aplicando essa ideia ao caso pedido, obtemos a fórmula prática
a_{50}=S_{50}-S_{49},
onde S_n=1+\dfrac{2}{n} segundo o enunciado.

Passo 4

Calcule S_{50}. Usando a expressão dada:
S_{50}=1+\frac{2}{50}=1+\frac{1}{25}.
Colocando numa única fração:
S_{50}=\frac{25}{25}+\frac{1}{25}=\frac{26}{25}.

Passo 5

Calcule S_{49}. Usando a expressão dada:
S_{49}=1+\frac{2}{49}.
Colocando numa única fração:
S_{49}=\frac{49}{49}+\frac{2}{49}=\frac{51}{49}.

Passo 6

Agora subtraiamos para obter a_{50}:
a_{50}=S_{50}-S_{49}=\frac{26}{25}-\frac{51}{49}.
Colocando em denominador comum:
a_{50}=\frac{26\cdot49-51\cdot25}{25\cdot49}.
Calcule os produtos:
26\cdot49=1274,\qquad 51\cdot25=1275,
logo o numerador é 1274-1275=-1. Portanto
a_{50}=\frac{-1}{25\cdot49}=\frac{-1}{1225}.

Passo 7

Interpretação rápida e ânimo: o termo \,a_{50} é negativo e muito pequeno em módulo, \,a_{50}=-\dfrac{1}{1225}\approx-0{,}000816. Boa! Foi só aplicar que a_n=S_n-S_{n-1} e manipular frações.

Resposta

-\dfrac{1}{1225}

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