Suponha que T(x, y)=40-x^{2}-2 y^{2} represente uma distribuição de temperatura no plano xy e um indivíduo se encontre na posição (3,2).
a) Descreva algebricamente o lugar geométrico dos pontos que o indivíduo deve percorrer para manter sempre a mesma temperatura.
b) Qual a direção e sentido que o indivíduo deve tomar se quiser caminhar na direção de maior crescimento da temperatura?
c) Qual a taxa de crescimento na direção encontrada no item (b)?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de temperatura no plano e a posição do indivíduo:
  • A função temperatura é T(x,y)=40-x^{2}-2y^{2}.
  • O indivíduo está na posição (3,2).
O enunciado pede três coisas:
(a) o lugar geométrico dos pontos que mantêm a mesma temperatura (ou seja, a curva de nível que passa por (3,2));
(b) a direção e o sentido que o indivíduo deve tomar para caminhar na direção de maior crescimento da temperatura;
(c) a taxa de crescimento da temperatura nessa direção.

Passo 2

Primeiro encontro a temperatura no ponto dado, porque a curva de nível que o indivíduo deve seguir é a curva onde T(x,y) tem esse mesmo valor. Avaliando
T(3,2)=40-3^{2}-2\cdot 2^{2}=40-9-8=23.
Portanto o nível de temperatura a manter é 23.

Passo 3

A curva de nível correspondente é o conjunto de pontos (x,y) tais que T(x,y)=23. Escrevo isso algebraicamente:
40-x^{2}-2y^{2}=23.
Reorganizando,
x^{2}+2y^{2}=17.
Isso já é a descrição algebrica do lugar geométrico pedido: a equação \;x^{2}+2y^{2}=17\;. Observação (didática): essa é a equação de uma elipse centrada na origem. Em forma padrão:
\frac{x^{2}}{17}+\frac{y^{2}}{17/2}=1,
logo os semi-eixos são a=\sqrt{17} (no eixo x) e b=\sqrt{17/2} (no eixo y).

Passo 4

Para achar a direção de maior crescimento da temperatura, apresento o conceito de gradiente (explicando passo a passo):
  • Para uma função T(x,y), a derivada parcial \dfrac{\partial T}{\partial x} é a taxa de variação de T quando x muda e y fica fixo; \dfrac{\partial T}{\partial y} é o mesmo em relação a y.
  • O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla T(x,y)=\left(\dfrac{\partial T}{\partial x},\dfrac{\partial T}{\partial y}\right).
  • Propriedade fundamental: \nabla T aponta na direção em que T cresce mais rapidamente; a taxa de variação nessa direção é exatamente o comprimento de \nabla T.
Agora calculo as parciais para nossa T:
\dfrac{\partial T}{\partial x}=-2x,\qquad \dfrac{\partial T}{\partial y}=-4y.
Avalio no ponto (3,2):
\nabla T(3,2)=(-2\cdot 3,\,-4\cdot 2)=(-6,\,-8).

Passo 5

Interpreto o vetor \nabla T(3,2)=(-6,-8):
  • Esse vetor dá a direção de máximo crescimento. O sentido é o sentido do vetor (componentes negativas indicam mover-se para menores valores de x e de y; em linguagem coloquial, “para sudoeste” no plano).
  • Para apresentar a direção como um vetor de unidade (útil em provas), normalizo \nabla T(3,2). Primeiro o comprimento:
\|\nabla T(3,2)\|=\sqrt{(-6)^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.
A unidade de direção é então
\mathbf{u}=\frac{\nabla T(3,2)}{\|\nabla T(3,2)\|=\;10}=\left(-\frac{6}{10},-\frac{8}{10}\right)=\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right).

Passo 6

Agora calculo a taxa de crescimento máxima (item (c)). Pelo fato de a direção de maior crescimento ser a direção do gradiente, a taxa máxima é o módulo do gradiente:
\text{taxa máxima}=\|\nabla T(3,2)\|=10.á
Verificação alternativa (direcional): a derivada direcional de T na direção unidade \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}T(3,2)=\nabla T(3,2)\cdot\mathbf{u}=(-6,-8)\cdot\left(-\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\right)=\frac{18+32}{5}=\frac{50}{5}=10,
o que confirma que a taxa de crescimento nessa direção é 10 (unidades de temperatura por unidade de comprimento).

Resposta

(a) x^{2}+2y^{2}=17 (elipse centrada na origem, semi-eixos \sqrt{17} e \sqrt{17/2}).
(b) Direção e sentido: na direção do vetor (-6,-8); vetor unitário \left(-\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\right).
(c) Taxa de crescimento nessa direção: 10.

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