Suponha que
represente uma distribuição de temperatura no plano xy e um indivíduo se encontre na posição
.
a) Descreva algebricamente o lugar geométrico dos pontos que o indivíduo deve percorrer para manter sempre a mesma temperatura.
b) Qual a direção e sentido que o indivíduo deve tomar se quiser caminhar na direção de maior crescimento da temperatura?
c) Qual a taxa de crescimento na direção encontrada no item (b)?
a) Descreva algebricamente o lugar geométrico dos pontos que o indivíduo deve percorrer para manter sempre a mesma temperatura.
b) Qual a direção e sentido que o indivíduo deve tomar se quiser caminhar na direção de maior crescimento da temperatura?
c) Qual a taxa de crescimento na direção encontrada no item (b)?
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de temperatura no plano e a posição do indivíduo:
- A função temperatura é
. - O indivíduo está na posição
.
O enunciado pede três coisas:
(a) o lugar geométrico dos pontos que mantêm a mesma temperatura (ou seja, a curva de nível que passa por );
(b) a direção e o sentido que o indivíduo deve tomar para caminhar na direção de maior crescimento da temperatura;
(c) a taxa de crescimento da temperatura nessa direção.
(a) o lugar geométrico dos pontos que mantêm a mesma temperatura (ou seja, a curva de nível que passa por
(b) a direção e o sentido que o indivíduo deve tomar para caminhar na direção de maior crescimento da temperatura;
(c) a taxa de crescimento da temperatura nessa direção.
Passo 2
Primeiro encontro a temperatura no ponto dado, porque a curva de nível que o indivíduo deve seguir é a curva onde
tem esse mesmo valor. Avaliando
Portanto o nível de temperatura a manter é
.
Passo 3
A curva de nível correspondente é o conjunto de pontos
tais que
. Escrevo isso algebraicamente:
Reorganizando,
Isso já é a descrição algebrica do lugar geométrico pedido: a equação
. Observação (didática): essa é a equação de uma elipse centrada na origem. Em forma padrão:
logo os semi-eixos são
(no eixo
) e
(no eixo
).
Passo 4
Para achar a direção de maior crescimento da temperatura, apresento o conceito de gradiente (explicando passo a passo):
- Para uma função
, a derivada parcial é a taxa de variação de quando muda e fica fixo; é o mesmo em relação a . - O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
- Propriedade fundamental:
aponta na direção em que cresce mais rapidamente; a taxa de variação nessa direção é exatamente o comprimento de .
Agora calculo as parciais para nossa
:
Avalio no ponto
:
Passo 5
Interpreto o vetor
:
- Esse vetor dá a direção de máximo crescimento. O sentido é o sentido do vetor (componentes negativas indicam mover-se para menores valores de
e de ; em linguagem coloquial, “para sudoeste” no plano). - Para apresentar a direção como um vetor de unidade (útil em provas), normalizo
. Primeiro o comprimento:
A unidade de direção é então
Passo 6
Agora calculo a taxa de crescimento máxima (item (c)). Pelo fato de a direção de maior crescimento ser a direção do gradiente, a taxa máxima é o módulo do gradiente:
Verificação alternativa (direcional): a derivada direcional de
na direção unidade
é
o que confirma que a taxa de crescimento nessa direção é
(unidades de temperatura por unidade de comprimento).
Resposta
(a)
(elipse centrada na origem, semi-eixos
e
).
(b) Direção e sentido: na direção do vetor ; vetor unitário
.
(c) Taxa de crescimento nessa direção: .
(b) Direção e sentido: na direção do vetor
(c) Taxa de crescimento nessa direção: