Seja a função f(x, y)= \begin{cases}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
a) Verifique se f é contínua em ( 0,0 ).
b) É correto afirmar que as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) não são contínuas em (0,0) ?
c) A função f é diferenciável em ( 0,0 )?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{2xy}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt]0,&\text{se }(x,y)=(0,0).\end{cases}
As perguntas são:
a) Verificar se f é contínua em (0,0).
b) Verificar se é correto afirmar que as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) não são contínuas em (0,0).
c) Verificar se f é diferenciável em (0,0).]

Passo 2

Conceito e teste de continuidade em (0,0).
Uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é contínua em (0,0) se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Aqui f(0,0)=0. Para testar o limite, convém escrever f em coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Substituindo em f (para (x,y)\neq(0,0)) obtemos
f(x,y)=\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{2(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{r^{2}}=\frac{2r^{2}\cos\theta\sin\theta}{r^{2}}=\sin(2\theta).
Observação importante: essa expressão não depende de r, só de \theta.

Passo 3

Interpretação do resultado em coordenadas polares.
Como f(x,y)=\sin(2\theta) para pontos não nulos, ao aproximar (x,y) de (0,0) por diferentes direções (ou seja, por diferentes \theta) o valor de f(x,y) tende a valores diferentes. Por exemplo:
\text{se } y=x\\ (\theta=\tfrac{\pi}{4})\Rightarrow f(x,x)=\sin\big(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\big)=\sin\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1,
enquanto
\text{se } y=0\\ (\theta=0)\Rightarrow f(x,0)=0.
Logo o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe (porque depende da direção). Como o limite não existe e f(0,0)=0, concluímos que f não é contínua em (0,0).

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0).
Para (x,y)\neq(0,0) temos f(x,y)=\dfrac{N}{D} com N=2xy e D=x^{2}+y^{2}. A regra do quociente diz:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{N}{D}\right)=\frac{N_x D - N D_x}{D^{2}},
onde N_x=\dfrac{\partial N}{\partial x} e D_x=\dfrac{\partial D}{\partial x}. Calculando:
N_x=2y,\qquad D_x=2x.
Então
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2y\,(x^{2}+y^{2})-(2xy)(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{-2x^{2}y+2y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}= \frac{2y(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
De modo análogo (ou por simetria trocando x por y) obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2x(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
para (x,y)\neq(0,0).

Passo 5

Cálculo das derivadas parciais em (0,0) pela definição.
A derivada parcial em x no ponto (0,0) é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para y=0 e h\neq 0 temos f(h,0)=\dfrac{2h\cdot 0}{h^{2}+0}=0. Então
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0.
Analogamente,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=0.
Portanto as derivadas parciais existem em (0,0) e valem 0.

Passo 6

Verificação da continuidade das derivadas parciais em (0,0).
Para que, por exemplo, \dfrac{\partial f}{\partial x} seja contínua em (0,0) precisa valer
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
Usando a expressão encontrada em (x,y)\neq(0,0),
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2y(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Vamos estudar o comportamento aproximando por uma reta y=mx com m fixo e m\neq \pm 1. Substituindo y=mx (com x\to 0):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,mx)=\frac{2(mx)\big((mx)^{2}-x^{2}\big)}{\big(x^{2}+(mx)^{2}\big)^{2}} =\frac{2m x^{3}(m^{2}-1)}{x^{4}(1+m^{2})^{2}} =\frac{2m(m^{2}-1)}{(1+m^{2})^{2}}\cdot\frac{1}{x}.
O fator \dfrac{1}{x} explode quando x\to 0, portanto \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) não tem limite finito quando (x,y)\to(0,0) por essas retas (exceto nos casos especiais m=\pm 1 onde o numerador vale zero). Assim \dfrac{\partial f}{\partial x} não é contínua em (0,0). Pela simetria da fórmula, o mesmo ocorre para \dfrac{\partial f}{\partial y}. Conclusão: é correto afirmar que as derivadas parciais não são contínuas em (0,0).

Passo 7

Diferenciabilidade em (0,0).
Definição prática: se f fosse diferenciável em (0,0), existiria um mapa linear L(h,k) tal que
f(h,k)=f(0,0)+L(h,k)+o\big(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\big), \quad\text{quando }(h,k)\to(0,0).
O mapa linear é dado pelas derivadas parciais no ponto: L(h,k)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)h+\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)k. Como \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0, teria que valer
f(h,k)=o\big(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\big),
ou seja
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
Mas recordando que para (h,k)\neq(0,0) temos f(h,k)=\sin(2\theta) em coordenadas polares, isto é, f não depende de r. Portanto, por exemplo ao tomar a reta k=h (direção \theta=\tfrac{\pi}{4}) temos f(h,h)=1 para todo h\neq 0. Então
\frac{f(h,h)}{\sqrt{h^{2}+h^{2}}}=\frac{1}{|h|\sqrt{2}}\to\infty\quad\text{quando }h\to 0,
não tende a 0. Isso contradiz a condição necessária para diferenciabilidade. Logo f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

a) f não é contínua em (0,0).
b) Sim — as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} não são contínuas em (0,0).
c) f não é diferenciável em (0,0).

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