Seja a função f(x, y)= \begin{cases}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
a) Verifique se f é contínua em ( 0,0 ).
b) É correto afirmar que as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) não são contínuas em (0,0) ?
c) A função f é diferenciável em ( 0,0 )?
As perguntas são:
a) Verificar se f é contínua em (0,0).
b) Verificar se é correto afirmar que as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) não são contínuas em (0,0).
c) Verificar se f é diferenciável em (0,0).]
Passo 2
Conceito e teste de continuidade em (0,0).
Uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é contínua em (0,0) se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Aqui f(0,0)=0. Para testar o limite, convém escrever f em coordenadas polares:
Observação importante: essa expressão não depende de r, só de \theta.
Passo 3
Interpretação do resultado em coordenadas polares.
Como f(x,y)=\sin(2\theta) para pontos não nulos, ao aproximar (x,y) de (0,0) por diferentes direções (ou seja, por diferentes \theta) o valor de f(x,y) tende a valores diferentes. Por exemplo:
Logo o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe (porque depende da direção). Como o limite não existe e f(0,0)=0, concluímos que f não é contínua em (0,0).
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0).
Para (x,y)\neq(0,0) temos f(x,y)=\dfrac{N}{D} com N=2xy e D=x^{2}+y^{2}. A regra do quociente diz:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{N}{D}\right)=\frac{N_x D - N D_x}{D^{2}},
onde N_x=\dfrac{\partial N}{\partial x} e D_x=\dfrac{\partial D}{\partial x}. Calculando:
Portanto as derivadas parciais existem em (0,0) e valem 0.
Passo 6
Verificação da continuidade das derivadas parciais em (0,0).
Para que, por exemplo, \dfrac{\partial f}{\partial x} seja contínua em (0,0) precisa valer
O fator \dfrac{1}{x} explode quando x\to 0, portanto \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) não tem limite finito quando (x,y)\to(0,0) por essas retas (exceto nos casos especiais m=\pm 1 onde o numerador vale zero). Assim \dfrac{\partial f}{\partial x} não é contínua em (0,0). Pela simetria da fórmula, o mesmo ocorre para \dfrac{\partial f}{\partial y}. Conclusão: é correto afirmar que as derivadas parciais não são contínuas em (0,0).
Passo 7
Diferenciabilidade em (0,0).
Definição prática: se f fosse diferenciável em (0,0), existiria um mapa linear L(h,k) tal que
O mapa linear é dado pelas derivadas parciais no ponto: L(h,k)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)h+\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)k. Como \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0, teria que valer
Mas recordando que para (h,k)\neq(0,0) temos f(h,k)=\sin(2\theta) em coordenadas polares, isto é, f não depende de r. Portanto, por exemplo ao tomar a reta k=h (direção \theta=\tfrac{\pi}{4}) temos f(h,h)=1 para todo h\neq 0. Então
não tende a 0. Isso contradiz a condição necessária para diferenciabilidade. Logo f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
a) f não é contínua em (0,0).
b) Sim — as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} não são contínuas em (0,0).
c) f não é diferenciável em (0,0).