Suponha que a taxa de crescimento de uma certa população seja dada pela função P^prime(t)=3 t^2-18 t+24, onde P^prime(t) é medida em bilhões de indivíduos por ano e t é o tempo medido em anos. Sabendo que a população inicial é de 50 bilhões de indivíduos, a população total dessa população será P(t)=-t^3+9 t^2+48 t+50 bilhões de indivíduos. Determine em que instante, dentro do período de 5 anos, a taxa de variação do crescimento da população será máxima e em que instante será mínima?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente achar, dentro de 5 anos, quando a taxa de variação do crescimento da população é máxima e quando é mínima. A gente vai usar cálculo, mais especificamente derivadas, para resolver isso. Vamos precisar entender como derivadas funcionam para determinar esses pontos máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a taxa de crescimento da população é dada por $ P’(t) = 3t^2 - 18t + 24 $. A taxa de variação dessa taxa de crescimento, que a gente pode chamar de segunda derivada, é $ P’’(t) $. Para achar $ P’’(t) $, vamos derivar $ P’(t) $:
P'(t) = 3t^2 - 18t + 24

Passo 3

Agora, queremos saber quando $ P’’(t) $ é máxima e mínima dentro do período de 5 anos, ou seja, para $ t $ entre 0 e 5. Observando a expressão $ P’’(t) = 6t - 18 $, vemos que é uma função linear. Isso significa que ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo, sem pontos de máximo ou mínimo internos.

Passo 4

Como $ P’’(t) $ é uma função linear crescente (o coeficiente de $ t $ é positivo), o menor valor dela ocorre no início do intervalo (quando $ t = 0 $) e o maior valor ocorre no final do intervalo (quando $ t = 5 $).

Resposta

Dentro dos 5 anos, a taxa de variação do crescimento da população é mínima no instante $ t = 0 $ anos e máxima no instante $ t = 5 $ anos.

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